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주어진 점에서 곡선의 기울기를 찾으려고 시작한 미분을 연구한 방법과 같은 방법으로, 곡선 아래의 넓이를 알아내려는 문제를 생각함으로써 적분을 이해해보자. 아래의 넓이 S를 어떻게 구할 수 있을까?

그 한 가지 방법으로 아래와 같이 이 영역을 좁고 긴 직사각형으로 나누어보자.

직사각형의 넓이는 ∆x(x값의 작은 변화를 나타내는 것으로 델타 엑스라고 읽는다)이고 높이는 주어진 점에서의 함숫값이다. 한 직사각형 안에서 함수와 직사각형의 높이가 항상 일치하지 않으므로 오차가 있을 수 있다. 그러나 직사각형이 매우 작아지면(∆x가 0으로 갈 때의 극한값을 말한다) 이 값은 점점 더 주어진 점에서의 함숫값에 가까이 간다.

수학자들은 이것을 다음과 같이 나타낸다.

= 거기에서 ∆x=

이것을 정적분(a와 b 사이의 넓이로 제한했기 때문에)이라고 한다.