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요약 그래프를 그릴 수 없는 함수까지 적분할 수 있도록 곡선 내부의 면적 개념을 확장한 적분 방법.
함수의 그래프는 함수의 모든 순서쌍(x,y)들의 집합으로 정의한다. 함수가 구분적 연속이라면, 그래프로 그릴 수 있다. 여기에서 구분적 연속이란 정의된 구간이 여러 개의 부분구간으로 나누어지고 각 부분구간에서 함수가 비약(jump)이 없음을 말한다.
리만 적분(Riemann integral)은 부분구간에 대한 리만 합을 바탕으로 하므로, 이와 같이 정의되지 않은 함수는 리만 적분을 할 수 없다. 예를 들면 x가 유리수이면 값이 1이고, x가 무리수이면 값이 0인 함수는 비약이 일어나지 않는 부분구간을 찾을 수 없다. 따라서 리만 합 f(c1)Δx1＋f(c2)Δx2＋……＋f(cn)Δxn은 극한값이 없으며 점 c가 어떤 부분구간 △x에서 선택되느냐에 따라 다른 값을 가질 수 있다.
르베그 합은 리만 합처럼 x값을 나누지 않고 y값을 분할하여 유계함수에 대한 르베그 적분을 정의하기 위해 사용한다. 분할 {yi}(=y0,y1,y2,……,yn)과 관련하여 집합 Ei는 함수의 y값이 yi-1과 yi 사이에 있는 모든 x값들로 이루어져 있다.
집합 Ei에 대해 m(Ei)라는 숫자가 대응되며 집합의 측도(measure)라고 부르는데, 특히 이 집합이 구간으로 이루어져 있으면 길이가 된다. 다르부의 상합이나 하(下)합과 비슷하게 각각 S=m(E0)y1＋m(E1)y2＋……＋m(En-1)yn과 s=m(E0)y0＋m(E1)y1＋……＋m(En-1)yn-1이 구성된다. y－분할의 부분구간의 길이가 0에 접근할수록 위의 두 합은 함수에 대한 르베그적분이라는 공통값으로 접근한다.
르베그 적분은 위에서의 유리/무리함수처럼 집합 Ei들이 구간들로 이루어지지 않은 경우에 집합 Ei의 측도 개념이다.
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