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수학자들은 증명이 가능한 것을 좋아한다. 무엇인가를 증명함으로써, 식에 어떤 값을 넣어도 성립함을 보일 수 있다.
그리스 수학자 유클리드는 수학적 증명의 형식적인 규칙을 처음으로 보여준 사람이다. 그가 주장한 체계는 처음 가정을 만들어내고 논리를 이용하여 처음 가정들이 참이라면 거기서 도출된 결론도 또한 참이라는 것이다. 물론 이미 증명된 결과를 이용할 수도 있다.
직접 증명법
어떤 명제를 증명하기 위해 이미 증명한 정리 또는 가정을 이용하는 것이다. 가령 짝수에 1을 더하면 홀수라는 명제를 증명하기 위하여 모든 자연수를 2배한 수가 짝수라는 지식으로부터 출발하는 직접 증명법을 사용할 수 있다.
귀납법
어떤 명제가 참임을 보일 때 귀납법으로는, 수를 대입하면서 모든 경우에 명제가 참임을 보이기 전에 이 명제 자체가 참임을 증명할 수 있다.
귀류법
귀류법은 기본 전제를 만드는 것이 중요하다. 그리고는 기본 전제가 참일 수 없다는 것을 보이면 된다.
1600년대에 프랑스 수학작 피에르 드 페르마는 그가 보던 책의 여백에 한 정리를 써 놓았다. 그리고는 그 정리를 증명했다고 주장하였는데, 증명은 남기지 않았다. 이후 그 정리는 페르마의 마지막 정리로 알려지게 되었다.
영국의 수학자 앤드류 와일즈는 결국 1994년에 귀류법으로 페르마의 마지막 정리를 증명했다. 이 증명은 100쪽이 넘는다.
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