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장축과 단축

두 초점 F1, F2를 지나는 직선과 만나는 타원의 교점 사이의 거리를 장축, 타원의 중심을 지나는 직선과 타원의 위, 아래 교점 사이의 거리를 단축이라고 한다.

이 정의에서 타원 위의 점에서 두 초점까지의 거리의 합(그림에서 x+y)은 일정하다. 이에 따라 다음 식이 성립한다.

장축 : 2a=x+y

장축과 같이 단축의 길이도 계산할 수 있다. F1과 F2 사이의 거리를 f라고 하면

단축 : 2b=

타원이 찌그러진 정도는 이심률 e로 나타내는데 다음과 같다.

타원에서 더 알아야 하는 것은 넓이와 둘레의 길이이다. 넓이는 다음과 같다.

(타원의 넓이)=πab

타원의 둘레의 길이는 계산하기 매우 어려우며 무한급수를 사용해야 한다.

그러나 다음과 같은 식으로 근삿값을 구할 수 있다.

행성의 궤도

모든 행성의 궤도는 타원 모양이다. 그러나 이 궤도들은 1609년 케플러가 발견할 때까지는 원이라고 생각할 정도로 원보다 아주 살짝 찌그러진 정도이다. 케플러는 행성이 오랫동안 당연하게 여겨진 것처럼 원 궤도를 그리지 않고 두 초점 중 한 곳에 태양이 있는 타원 궤도를 그린다는 것을 밝혔다.

이삭 뉴튼 경은 궤도가 원뿔곡선 중 어느 것이든 될 수 있다는 데에까지 나아갔다. 또 몇몇 혜성처럼 포물선이나 쌍곡선 궤도를 따르는 것들은 태양을 한 번 지나치면서 태양계를 떠나버린다.

포물선

포물선은 주어진 한 점(초점)과 직선(준선)으로부터 같은 거리에 놓인 점들로 이루어진 곡선이다.

그림 1에서 두 파란색 선분의 길이는 점 (x, y)가 곡선 위의 어느 점으로 이동하더라도 항상 같다.

포물선의 표준방정식은 다음과 같은 꼴이다.

y=ax²+bc+c

그러므로 함수 y=x²의 그래프는 매우 간단한 포물선이다. 그리고 태양 주위를 도는 혜성은 포물선 궤도를 그린다.

쌍곡선

쌍곡선은 거울이미지인 두 곡선이다. 수학적으로는 두 초점(그림에서 F1, F2)까지의 거리의 차가 일정한 점의 모임이다.

그림 2에서 점선은 점근선이라고 하는데, 곡선과 무한히 가까워지지만 결코 만나지는 않는 직선이다.

쌍곡선은 아래와 같은 방정식으로 표현된다.

-=1(a, b는 두 초점 사이의 거리와 관계 있다)