백과

무한대

무한대는 엄격히 말하면 수는 아니지만 지금이 언급하기 적당한 때이다. 무한대는 기호 ∞로 나타내며 발산하는 극한의 개념을 보여줄 때 사용한다.

예를 들어, 다음과 같은 무한 합을 무한대라고 할 수 있다.

1+2+4+8+16+32+…

이것은 극한을 이해할 때도 종종 사용한다. 역수의 함수인 을 생각해보자. x가 양의 값이면서 점점 커질수록, 은 점점 작아진다. 따라서 의 그래프는 x가 커질수록 점점 더 0으로 가까이 간다.

수학자들은 이것을 다음과 같이 나타내고, x가 무한대로 갈 때 의 극한값은 0이라고 읽는다.

=0

소수

소수는 오직 자기 자신과 1로만 나누어떨어지는 수이다. 처음 몇 개의 소수는 다음과 같다.

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …

그리스 수학자 유클리드는 소수가 무한개임을 증명하였고, 또 다른 그리스 수학자 에라토스테네스는 소수를 찾아내는 방법을 개발했다. 그 방법을 에라토스테네스의 체라고 한다. 자연수를 써 내려간 후, 2의 배수, 3의 배수 순으로 차례로 지워나가는 방법이다.

완전수

완전하다는 것은 무엇인가? 수학자에게 완전수는 잘 정의된 수학적 성질을 갖추고 있는 수이다. (자기 자신 이외의)약수의 합이 자기 자신과 같은 수가 완전수이다.

예를 들어, 6을 보자. 6의 약수는 1, 2, 3, 6이다. 6을 제외한 다른 약수들을 모두 더하면 1+2+3=6이다. 따라서 6은 완전수이다.

처음 4개의 완전수는 6, 28, 496, 8128이다. 지금까지 발견된 완전수들은 모두 6 또는 8로 끝나는 수이다. 홀수인 완전수가 있는지 논쟁이 있었는데 10³⁰⁰까지 모든 수를 확인했지만 아직 홀수인 완전수가 존재하는지 존재하지 않는지 증명하지 못했다.

오일러 수

수학에서 또 다른 중요한 수가 e 또는 스위스 수학자 레온하르트 오일러의 이름을 따서 오일러의 수이다. 이 수는 소수점 아래 다섯 번째 자리까지의 수가 2.71828인데, 무리수이므로 소수점 아래의 수가 무한히 계속된다. 수학자들은 컴퓨터를 이용해서 e를 천억 자리까지 계산했다.

좀 더 정확하게는, e는 다음과 같다.

e=

우변의 낯선 표현은 극한이다. 극한은 잠시 미루어두고 거듭제곱 부분을 보자. n을 2라고 하면

으로, 계산기로 계산하면 2.25이다. 이제 n을 5라고 하면

으로 2.48832이다. n을 20,000이라고 하면 그 값은 2.718214이다. 이제 비슷해보이기 시작하는가? n이 커질수록 이 값은 e로 가까이 간다. 만약 계산기에서 무한대를 누를 수 있다면 그 값은 e라고 찍힐 것이다.

괄지나곱덧뺄(BODMAS)

Q. 다음 계산을 하면 얼마일까? 8+(5×4²+2)

수학자들 사이에 괄지나곱덧뺄(BODMAS)라고 알려져 있는 약속이 있다. 괄호, 지수, 나눗셈, 곱셈, 덧셈, 뺄셈(Brackets, Orders, Division, multiplication, Addition, Subtraction)의 첫 자를 딴 낱말이다. 이 약자는 계산하는 순서를 보여준다. 즉, 괄호를 가장 먼저 하고, 뺄셈을 가장 나중에 해야 한다.

8+(5×4²+2)=8+(5×16+2)=8+(80+2)=8+82=90