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대칭에 의한 어떤 개체의 조화로운 모습은 수학적 연산인 반사, 이동, 회전에 의한 것이다. 담장, 벽지, 카펫 등에서 보는 반복적인 문양은 하나의 이미지가 평행이동되거나 여러 번 반복되는 수학적 연산에 의한 것이다.
이 반복적인 패턴은 하나의 대칭적인 이미지가 반복적으로 평행이동되어 만들어졌다.
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리 군
19세기 노르웨이의 수학자 소푸스 리에 의해 도입된 리 군은 수학적 관점에서 대칭을 이해하는데 유용하다.
삼차원에서 구와 같이 대칭인 모든 도형은 리 군(수와 수의 연산)으로 표현될 수 있다.
그러나 수학자들은 삼차원에 머무르지 않았다. 18명의 국제 수학자들이 모여 248차원 대칭인 리 군 E8의 구조를 밝혔다. E8의 구조를 말해주는 모든 식을 써내려간다면, 맨해탄을 덮을 만큼의 종이가 필요할 것이다.각주1)
E8군을 나타내는 그림
이 복잡성은 100여 년 동안 풀리지 않고 있다
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