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생일 문제

방안에 있는 사람 중에 두 사람의 생일이 같을 확률이 50%보다 크려면 몇 명이나 있어야 할까?

답은 23이다. 그 이유는 다음과 같다.

먼저, 모두의 생일이 다를 확률을 계산해보자.

첫째 사람이 생일이 다를 확률은 1이다(왜냐하면 아직 아무도 선택하지 않았기 때문이다). 둘째 사람이 처음 사람과 다를 확률은 또는 1-이다. 비슷하게 셋째 사람이 앞의 두 사람과 생일이 다를 확률은 또는 1-이다. 이런 방법으로 계속하면, n째 사람에 대해서는 확률은 1-이다.

모든 사람의 생일이 다를 확률은 이것을 다 곱한 값이므로

P(n명, 생일이 모두 다름)
=1×(1-)×(1-)×(1-)… (1-)
=××××…×
=

생일이 모두 다를 확률과 생일이 모두 다르지 않을 확률을 더하면 1이므로

P(n명, 생일이 같은 사람이 있음)=1-

n의 값에 23을 대입하면 이 값이 50%를 넘지 않음을 확인할 수 있다.