백과

가산무한과 비가산무한

짝수가 얼마나 많이 있는지 생각해본 적이 있는가? 지금 무한에 대해서 말하고 있기 때문에 짝수는 무한개 있다는 것은 틀림없다. 홀수는 어떤가? 홀수도 역시 무한개 있다. 그럼, 자연수(정수)는 어떤가? 그렇다. 이 수들도 무한개 있다.

무한은 모두 똑같은가?

모든 무한은 논리적으로 같지 않다. 이 이야기를 하려면 독일 수학자 게오르크 칸토어가 도입한 가산무한, 비가산무한의 개념을 가져와야 한다.

칸토어는 무한집합은 자연수로 만들어진 집합과 같은 농도를 가지면 가산집합이라고 정의했다. 유한집합은 당연히 가산집합이다. 그리고 가산집합이 아닌 집합을 비가산집합이라 한다.

이 말의 실제 의미는 무엇인가? 이는 특정한 집합과 자연수로 만들어진 집합 사이에 일대일 대응이 존재하면 가산이라는 뜻이다.

자연수의 집합을 잠깐 생각해보자. 모든 자연수 n에 대해 또 다른 자연수, 실제로는 홀수인 2n+1이 있다. 두 집합 사이에는 일대일 대응이 존재하므로 홀수는 자연수와 개수가 같다. 이 과정은 직관에 매우 반하는 것이다.

급수의 중요성

힐베르트 호텔은 독일 수학자 다비드 힐베르트가 만든 역설이다. 그는 방이 무한개인 호텔을 상상했다. 어느날 무한개의 방에 손님이 꽉 차서 빈방이 없는데 장래가 유망한 손님이 와서 방을 달라고 했다. 그러자 힐베르트는 그 손님에게 1호실을 주고, 1호실 손님은 2호실로, 2호실 손님은 3호실로, 그런 식으로 옮기게 했다.

사실, 이 과정에 의하면 호텔은 가산 무한 명만큼의 손님을 더 받을 수 있다. 1호실 손님을 2호실, 2호실 손님을 4호실로, 더 일반적으로는 n호실 손님을 2n호실로 옮기면 된다. 그리고 새로운 손님들은 모두 홀수 호실로 들어가면 된다.