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정육면체와 직육면체

정육면체–6개의 정사각형 면이 있고 각각의 면이 꼭짓점에서 다른 두 면과 만나는 삼차원 도형부터 시작하자. 직육면체는 정육면체와 비슷한데, 각 면이 정사각형이 아니라 직사각형이다.

삼차원 도형에서는 도형에 의해 둘러싸인 영역의 양인 부피를 구하는 방법에 관심을 가진다. 첫째 단계는 측정의 단위를 정의하는 것이다. 크기가 1㎝×1㎝×1㎝인 정육면체의 부피는 세제곱센티미터 또는 1㎤라고 한다.

크기가 10㎝×10㎝×10㎝인 버터를 부피가 1㎤가 되도록 정육면체 모양으로 잘게 자른다고 하자. 잘라진 조각의 개수를 세면 1,000개가 될 것이다. 이 수는 10×10×10과 같다.

직육면체의 세 모서리의 길이를 l, w, h라고 하면 사실, 정육면체를 포함해서 직육면체의 부피는 가로, 세로, 높이의 곱이다. 즉,

(직육면체의 부피)=l×w×h

따라서 크기가 10×20×30㎝인 직육면체의 부피는 6,000세제곱센티미터 또는 6,000㎤이다.

삼차원 도형에서 측정하는 또 다른 것으로는 겉넓이가 있다. 세 모서리의 길이가 l, w, h인 직육면체에는 여섯 개의 면이 있다. 직사각형의 넓이는 가로, 세로 두 변의 길이의 곱임을 알고 있으므로 직육면체의 겉넓이는 다음과 같다.

(직육면체의 겉넓이)=2×(lw+lh+hw)

한 모서리의 길이가 a인 정육면체의 부피와 겉넓이는 다음과 같다.

(정육면체의 부피)=a³
(정육면체의 겉넓이)=6a²