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1차원에서 가장 단순한 편미분방정식인 u_xx〓u_t는 가는 막대 위의 여러 점에서의 순간순간 온도분포를 다룬다. 이런 단순한 문제조차도 그 해는 복잡하지만 대부분이 이 방정식의 기본해인 지수함수 exp[(－x²/4t)/t^1/2]로 구성된다. 이런 형태의 문제에 대한 완전한 해를 결정하기 위해서는 막대기 온도의 초기분포와 막대기 끝에서 온도가 변하는 방식을 알아야 한다.

이런 부가조건들을 각각 초기값과 경계값이라 하며 때로 통틀어 보조조건들이라고 하기도 한다.

2차원과 3차원의 유사한 문제에서도 순간순간 경계점에서의 온도분포뿐만 아니라 전 영역의 초기온도분포가 주어져야 한다. 2차원에서 가장 단순한 미분방정식은 u_xx＋u_yy〓u_t이고 3차원에서는 u_zz를 더하면 된다. 이러한 방정식은 매개체가 균일한 합성체일 때만 적당하며 불균일한 합성체나 다른 어떤 확산문제들에 대하여는 더 복잡한 방정식이 나타난다.

이런 방정식들이 다른 좌표계를 사용해서 위에 묘사한 단순한 형태로 바뀔 수 있다면 이도 또한 주어진 영역에서의 포물선방정식이라 한다. 1차원에서 최고차 항이 u_xx＋bu_xt＋cu_tt인 방정식은 b²－4ac〓0을 만족하면 포물선방정식으로 변환할 수 있다. 계수 a, b, c가 x값에 의존할 때도 영역의 각 점에서 b²－4ac〓0이면 그 영역에서의 포물선방정식이 된다.