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2차원에서 이런 조건을 묘사하는 가장 단순한 방정식은 라플라스 방정식 u_xx＋u_yy=0이다. 타원방정식은 영역 내에서 미분방정식을 만족할 뿐만 아니라, 영역 밖에서 받는 영향을 나타내는 영역의 경계값에 의해 결정된다. 이러한 조건으로는 경계점에서 고정된 온도분포를 갖도록 하는 조건(디리클레 문제)이나 전지역이 같은 온도분포로 유지될 수 있도록 경계를 통해 열이 공급되거나 제거되도록 하는 조건(노이만 문제)을 예로 들 수 있다.

상수계수를 갖는 2계 편미분방정식의 최고차(次) 항들이 선형(線型)이고, u_xx, u_xy, u_yy의 계수 a, b, c가 b²－4ac＜0을 만족하면, 좌표를 바꿈으로써 주요부분(최고차항들)은 라플라시안 u_xx＋u_yy로 표시될 수 있다. 물리계의 성질은 문제를 공식화하기 위해 사용되는 좌표계에 무관하므로 이 타원방정식 해(解)의 성질은 라플라스 방정식 해의 성질과 비슷할 것이다(→ 조화함수).

만일 계수 a, b, c가 상수가 아니고 x와 y의 함수인 경우, 영역에 있는 모든 점에서 b²－4ac＜0일 때 이 방정식은 주어진 영역 안에서 타원방정식이라 한다. 함수 x²－y²과 e^xcosy는 라플라스 방정식을 만족하지만 경계조건 때문에 이 방정식의 해는 대개 더 복잡하다.