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구면 기하학

최초의 비유클리드 기하학인 구면 기하학(spherical geometry)이 생겨 구면을 측정하는 문제를 다루게 되는데, 이것이 구의 표면을 다루는 기하학이다. 곧이어 구면 기하학의 이례적인 면 한 가지가 나타난다. 구면 기하학에서 선은 평면 기하학에서와 마찬가지로 두 점 사이의 최단 거리이지만, 그 모양은 매우 다르게 나타난다. 구면을 가로질러 선 하나가 그려지고 계속해서 이 선이 길어지면 이 선은 최초의 시작점과 만나게 된다. 결국 이 선은 구의 중심을 중심으로 하는 원이 된다. 이것을 측지선이나 대원이라고 부른다(평면에서는 직선이었던 것이 구에서는 원이 된 것이다). 따라서 평면 기하학의 모든 측면이 바뀐다. 예를 들어, 구면 기하학에서는 대원들 사이에서 각도가 정의된다.

구면에 그려진 선은 길이가 아니라 구의 중심에서 봤을 때 선이 끝나는 점(종점이 나타나는 곳) 아래의 각도로 정의된다. 이 각도를 호의 각도라고 하며, 보통 라디안(radian)으로 잰다. 구의 반지름을 곱한 호의 각도는 구면 위에 있는 선의 길이이다.

평면 기하학과 구면 기하학의 차이점은 명확해진다. 구의 표면에서는 두 개의 선(아니면 두 개의 대원)을 이용해서 닫힌 도형을 정의할 수 있다. 자른 오렌지를 생각해보라. 평면에서는 두 개의 직선만 가지고 도형을 만들 수 없다. 구면의 삼각형은 또 다른 특성을 가지고 있다. 구면 삼각형의 세 각의 합은 언제나 180°가 넘는다. 각도가 180°보다 얼마나 커질지는 삼각형의 크기에 따라 결정된다. 그리고 이것은 구면 과잉(E)이라고 부른다. E는 삼각형의 넓이를 구할 때 사용된다.

면적 = E × r²

여기서 r은 구의 반지름이고 E는 라디안이다. 이것은 프랑스 수학자 알베르 지라르의 이름을 따서 지라르의 정리라고 부른다.

고대의 천문학자와 측량사들은 하늘과 지구를 보면서 구에 대해 연구하게 되었다. 그들은 유클리드 기하학을 구에 그대로 적용했을 때 생기는 문제점들을 일찍부터 깨달았다. 하지만 새로운 기하학 규칙의 가능성을 발견하기까지는 수백 년이 걸렸다.

타원과 쌍곡 기하학

곡면으로 인해 두 개의 비유클리드 기하학이 나타났다. 이미 구면 기하학에서 확인했듯이 곡면에 그려진 선은 평면에 그려진 선의 특성과 일치하지 않는다. 가장 중요한 것은 유클리드의 다섯 번째 공리가 곡면에는 적용되지 않는다는 점이다.

유클리드의 평면 기하학에서는 주어진 선 L과 직각을 이루는 두 개의 선은 평행하다. 하지만 곡면에서는 그렇지 않다. 타원의 면에서는 이 조건을 충족시키는 선이 존재하지 않으며, 제3의 선에 직각으로 그린 두 개의 선은 결국 서로 만나게 된다. 완벽한 타원면은 구이다. 구면 기하학은 타원 기하학의 특수한(그리고 가장 단순한) 모델이다.

쌍곡면에서는 L에 수직인 두 직선이 만나지 않을 것이다. 타원면 상에 그려진 모든 선들은 대원이 되고 쌍곡면 상에 그려진 모든 선들은 호가 된다.

만약 넓은 그릇 형태인 반구의 내부를 상상하며 가장자리에 수직인 호를 그려본다면, 그 호들은 ― 가장자리에 수직이라는 의미에서 ― 모두 평행이다. 하지만 그 수직인 호들은 모두 서로서로 교차한다.

비유클리드 기하학을 거부하다

유클리드의 기하학 법칙과는 다르게 작용하는 곡면에 그려진 선들은 수학자들을 혼란스럽게 만들었다. 오랫동안 수학자들은 비유클리드 기하학을 받아들이지 않으려고 했다.

이탈리아 수학자인 제로니모 사케리(1667~1733년)는 비유클리드 기하학이 존재할 수 없다는 것을 증명하려고 했다. 하지만 결국 또 다른 기하학의 가능성을 보여주고 쌍곡 기하학의 일부 원칙을 이끌어내면서 자신의 의도와는 반대되는 결과를 가져왔다. 사케리는 독립적으로 논의를 전개했을 테지만, 그가 연구한 내용들은 이란의 수학자인 오마르 하이얌이 쓴 글에서 가져온 것으로 보인다.

사케리는 오마르 하이얌이 제안했던 평행사변형을 연구의 출발점으로 삼았다. 평행사변형은 한 쌍의 평행선을 그리고 그 사이에 수직을 이루는 두 개의 변을 그렸을 때 만들어지는 도형이다(일반적인 평면 기하학에서 이 도형은 정사각형 모양이다). 그는 세 가지 가능성 즉, 내각이 90°인 경우, 90°보다 작은 경우, 90°보다 큰 경우를 고찰했다. 내각이 90°인 경우에는 그 결과가 명확하지만 그의 연구 목적인 다섯 번째 공리를 뒷받침하기 위해서는 나머지 두 경우에 아무 도형도 만들어지지 않아야 했다.

사케리는 이 가설이 틀리기를 바랐지만 실제로는 그렇지 않았다. 평행사변형에서 두 가지 가능성을 받아들이지 않기 위해 그가 내놓은 증명들은 정밀하지 않았고, 평행사변형의 두 가지 가능성이 틀렸다는 것을 증명하지도 못했다. 시간이 지나면서 평행사변형이 예각일 경우엔 쌍곡 기하학과 동일한 체계가 되고 둔각일 경우엔 타원 기하학의 체계가 된다는 것이 밝혀졌다.

사케리의 연구는 그가 글을 썼던 당시에는 영향력이 없었고 중요하게 생각되지도 않았지만, 이후 19세기 중반에 에우제니오 벨트라미가 그의 연구를 새로이 밝혀냈다.

인정받기 시작한 비유클리드 기하학

쌍곡 기하학은 헝가리인인 야노시 보여이와 러시아인인 로바쳅스키가 1830년경에 독자적으로 연구를 시작하면서 새롭게 나타났다. 보여이는 독일어로 출판을 하고 로바쳅스키는 러시아어로 출판을 했는데, 로바쳅스키가 독일어로 출판을 하고 나서야 그의 연구는 널리 관심을 끌게 된다.

위대한 독일 수학자인 카를 프리드리히 가우스는 보여이가 1832년에 출판한 내용은 본인이 이미 예전에 밝혀낸 것이지만 단지 공식적으로 알리지 않았을 뿐이라고 주장했다. 그의 주장은 사실일 수도 있다. 로바쳅스키와 보여이 둘 다 가우스와 알고 지냈고, 때문에 가우스의 가르침과 서신에 담긴 가우스의 생각이 이들에게 영향을 끼쳤을 수도 있다. 그의 말이 맞다면, 가우스는 일관성 있는 비유클리드 기하학을 최초로 발견한 사람이 되었을 것이다. 가우스가 알아낸 쌍곡 기하학의 내용들은 1855년 그가 죽은 이후에 널리 알려졌다. 로바쳅스키와 보여이의 연구는 가우스가 죽기 전까지는 거의 영향력이 없었다.

가우스는 쌍곡면과 타원면을 ‘공간’으로 다루자고 제안했다. 이 도형들이 3차원에 존재하긴 하지만 실제로는 2차원만을 가지고 있고, 이 도형들을 점으로 구체화시킬 때 두 개의 변수만이 필요하기 때문이다. 그는 한 면이 3차원 공간에서 도형의 배치에 대한 정보 없이도 거리와 각도에 의해 정의될 수 있다는 것을 보여주었다.

리만 기하학과 불규칙 곡선

보여이와 로바쳅스키가 쌍곡면을 다룰 수 있는 비유클리드 기하학의 가능성을 증명하긴 했지만, 유클리드 기하학에서 평면, 선, 점에 해당하는 곡면 기하학을 다룰 수 있는 모델은 없었다. 이러한 모델은 1868년 이탈리아 사람인 에우제니오 벨트라미가 제시했다. 그는 유클리드 기하학이 일관성 있는 기하학이라면 쌍곡 기하학도 일관성 있는 기하학이라는 것을 증명했다는 점에서 중요한 인물이다. 벨트라미는 현재 가상의 구면, 푸앵카레 원판, 클라인 모형, 푸앵카레 반평면 등으로 불리는 공간 모형들을 개발했다.

푸앵카레 원판에서는 가장자리에서의 거리가 중심 근처의 거리보다 더 크다. 하지만 원판의 곡선들을 멀리서 보면 그렇게 보이지 않는다.

에셔의 그림 〈원형 극한 3(Circle limit Ⅲ)〉에서는 이 도형들이 면에서 모두 같은 크기이다. 메르카토르 지도 투영법이 극 지방 가까이에 있는 나라들의 크기를 왜곡한 것과도 비슷하다. 예를 들어, 그린란드는 실제 크기보다 훨씬 크게 표현됐다.

하지만 푸앵카레 원판에서는 다른 방식으로 왜곡된다. 실제 거리보다 작게 나타나는 것이다. 푸앵카레 원판의 가장자리에서 두 지점의 최단 거리는 원판의 가장자리로부터 직각으로 그려진 원호다.

이와 비슷하게, 쌍곡원의 중심은 중앙에 있지 않다.

독일인 베른하르트 리만(1826~1866년)은 곡률이 단일하지 않은 면을 다룰 수 있는 쌍곡 기하학을 발전시켰다. 그는 10개의 숫자만을 사용해 공간 내에 있는 면 위의 어떤 지점에서도 곡률을 설명할 수 있는 체계를 개발했다.

리만 기하학에서는 좀더 높은 차원(우리에게 친숙한 물리적인 세계인 3차원 공간을 넘어선 차원)을 설정한다. 그는 n차원 공간이라는 개념에서 시작해서 모든 곡면의 측지선^각주1) 을 구하기 위해 미적분을 사용했다. 그의 연구는 아인슈타인의 상대성 이론을 포함해서 상당 부분 현대 물리학의 토대가 되었다.

비유클리드 기하학을 증명하려는 시도는 《원론》을 좀 더 엄격히 탐구하는 것으로 이어졌다. 독일 수학자인 모리츠 파슈는 기존의 수학만큼이나 새로운 기하학을 뒷받침하기 위해서는 이러한 공리들에 근거한 개념 정리나 공리, 논리적인 추론이 필요하다고 생각했다. 그의 생각은 20세기 초에 다비트 힐베르트가 주도한, 모든 수학을 공리로 만들고 가장 명백해보이는 추론조차도 증명을 통해 단단한 기초를 마련하려는 움직임을 몰고 왔다(논리의 적용 항목 참조).

뒤집어진 도형

곡면은 위상 기하학(topology)이라는 수학 분야의 토대가 되었다. 위상 기하학은 20세기 중반(1925~1975년)에 수학의 발달에서 중요한 분야 중 하나가 되었다. 가우스와 리만이 보여줬듯이 곡면은 n차원의 공간에 존재하지만, 그들 자신은 2차원을 갖고 있을 뿐이다. 2차원의 면들을 비틀어서 3차원인 것처럼 보이는 도형으로 만들 수도 있는데 이 도형들은 신기하게도 안과 밖의 구분이 없는 이례적 현상을 만들어낸다.

이러한 아이디어의 가장 단순한 예는 뫼비우스의 띠이다. 뫼비우스의 띠는 종이 띠를 한 번 비튼 후 그 끝을 맞붙인 것이다. 이 종이 띠에는 면이 하나밖에 없다. 이 띠의 면을 손가락으로 따라가다보면 손가락을 떼지 않은 상태로 양쪽 면 모두를 통과하게 된다.

클라인의 항아리는 더 높은 차원이 필요한 이러한 원칙을 확장한 것이다. 클라인의 항아리는 수학적 모형에 따라 자신의 면과 반드시 교차하지만, 4차원의 공간에 존재할 때는 교차되지 않는다. 이 도형의 내부는 끊어지지 않고 바깥이 된다. 클라인의 항아리를 잘라서 두 개의 뫼비우스 띠로 만들 수 있다.

네덜란드 예술가인 에셔는 불가능한 면과 구조라는 아이디어를 가지고 몇 개의 그림을 그렸다. 펜로즈 삼각형은 스웨덴의 예술가인 오스카 로이터스바르드가 1934년에 최초로 그렸고, 1950년대에 수학자 로저 펜로즈에 의해 유명해졌다. 펜로즈는 이것을 ‘가장 순수한 형태의 불가능’이라고 불렀다.

이야기는 계속된다

불가능할 것으로 여겨졌던 기하학은 사실 그리 불가능하지 않다는 것이 밝혀졌다. 또한 시각적으로 나타낼 수 없다고 해서 존재하지 않는 것은 아니란 사실도 밝혀졌다. 3차원의 공간을 평면의 지도로 나타낼 수 있었던 것처럼, 정말 필요한 것은 일관되고 확실한 방법이다. 특히 3차원 이상의 공간에서 이러한 것들을 나타낼 수 있는 방법은 좌표계를 사용하는 것이었다. 이 좌표계는 대수학을 이용해 수학적으로 연구하고 조작할 수 있었다.

대수학과 기하학은 17세기까지 상당 부분 상호작용해가며 각각 발달했다. 그 이후 두 명의 프랑스인이 놀라운 연구를 통해 대수학과 기하학을 접목시켰고 리만의 기하학과 또 다른 비유클리드 기하학이 만들어지는 데 필요한 도구를 제공했다.