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기본 도형

플라톤은 물리적인 세계를 구성한다고 믿었던 기본 요소들과 연관 지어 다섯 개의 입체 도형을 발견했다. 이 플라톤의 입체 도형은 피라미드(4면체), 큐브(6면체), 8면체, 12면체, 20면체이다. 플라톤은 흙은 정육면체의 미세입자, 불은 4면체, 공기는 8면체, 물은 20면체로 만들어졌다고 주장했다. 그는 또한 “신은 하늘에 별자리를 배열하기 위해 12면체를 사용했다.”고도 주장했다. 유클리드는 《원론》에서 플라톤의 입체 도형에 대해 철저하게 설명한 뒤 정다면체는 다섯 개밖에 없다는 플라톤의 증명을 반복했다.

독일의 천문학자인 요하네스 케플러는 플라톤의 입체 도형을 알려진 행성에 적용시켜 태양계의 모델을 만들어냈다. 이것을 연구하는 과정에서 그는 이 태양계 모델을 포기해야 했지만, 1619년에 별 모양의 정다면체 두 개를 찾아냈다. 다면체의 모서리나 면을 서로 만날 때까지 연장시키면 새로운 도형인 별 모양의 정다면체가 생겨난다.

루이 푸앵소는 1809년에 두 개의 도형을 더 발견했다. 1812년에 오귀스탱 코시는 더 이상의 정다면체는 없다는 것을 증명했다.

플라톤은 최초로 다섯 개의 입체 도형을 설명했다고 인정받지만, 이 입체 도형들은 스코틀랜드에서 발견된 4000년이 된 돌에 모두 새겨져 있었다. 그리고 적어도 케플러의 다면체 중 하나는 그가 이 도형에 대해 쓰기 전에 이미 알려진 것이었다. 별 모양의 다면체 중 하나는 베네치아에 있는 산 마르코 대성당의 대리석 바닥에 그려져 있다. 이 이탈리아의 대성당은 15세기에 세워진 것이다.

부피 재기

2차원의 다각형을 여러 개의 삼각형으로 나눌 수 있듯이, 3차원의 다면체도 부피를 계산하기 위해 여러 개의 정다면체로 나눌 수 있다. 고대 이집트인들은 정육면체, 피라미드, 원통, 원뿔의 부피를 계산하는 방법을 알고 있었다. 하지만 이런 방법으로 나눌 수 없는 도형들은 계산하기가 어려웠다.

아르키메데스는 불규칙한 도형의 부피를 구하기 위해서는 그 물체를 치환한 물의 부피를 재면 된다는 것을 깨달았다. 이것을 발견했을 때 그는 욕조에서 벗은 채로 나와 거리를 뛰어다니며 “유레카!”라고 외쳤다고 한다.

구는 각도, 모서리, 면이 없는 특별한 정다면체이다. 아르키메데스는 구의 넓이와 부피가, 같은 높이와 지름을 가진 원통의 3분의 2에 해당한다는 것을 증명했다. 구의 부피(4/3πr³)를 가장 먼저 증명한 사람은 중국의 수학자인 조충지(祖沖之)였다.

부피와 미적분

정다면체 또는 정다면체로 나눌 수 있는 입체 도형의 부피를 구하는 수학적 방법을 알아낸 이후에 비대칭 도형의 부피를 잴 수 있는 실용적인 방법도 발견되었다. 하지만 비대칭 입체 도형과 원뿔 입체 도형의 부피를 계산할 수 있는 방법은 거의 없었다. 이 문제들은 17세기 말에 미적분이 발명되기까지는 풀리지 않았다.