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미적분이란?

미적분(calculus)은 변화율과 변화된 결과를 측정하는 방법이다(‘calculus’는 셈을 하기 위해 사용되었던 ‘작은 돌멩이’라는 뜻의 라틴어이다). 미적분은 서로 역관계인 미분과 적분으로 나뉜다. 미분에 적분을 하면 처음의 식으로 돌아가고 그 반대의 결과도 같다는 것이 미적분의 기본 정리이다.

미분과 적분 모두 기본적으로 근사치를 구하는 방법이긴 하지만 목적은 상한과 하한을 사용해 근사치의 오류를 0에 가깝게 만드는 것이다.

미적분과 제논의 역설

제논의 역설에 따르면, 거북이가 먼저 출발한 경우 아킬레스는 절대로 거북이를 따라잡지 못한다(수학의 탄생 항목 참조). 제논의 역설은 미적분으로 나타낼 수 있다.

거북이가 이동한 거리를 d로 나타내고 이동하는 데 걸린 시간을 t로 나타내면, 연속된 시간인 t₁, t₂, t₃······과 그에 따른 거리 d₁, d₂, d₃······을 얻을 수 있다. 거북이가 이동한 속도는 시간과 거리의 함수이고 거북이의 위치에 따라 이 함수의 값은 달라진다. t₁과 t₂라는 시간 사이에 거북이의 속도는 다음과 같다.

15초 후에 거북이가 출발점에서 3미터를 이동하고 20초 후에 4미터를 이동했다면 거북이의 속도는 다음과 같다.

또는 0.2m/s로 표현할 수 있다.

거리에 따른 이동 속도가 일정하기 때문에 거북이의 운동 그래프는 직선이 될 것이다. 거북이가 일정한 속도로 움직이면 시간 대 속도 그래프는 일직선인 d = 0.2t가 된다.

이동한 거리는 그래프 아랫부분의 넓이인 속도×시간이다. 이 경우에는 거리 계산이 쉽다. 속도의 변화율(가속)은 그래프의 기울기이다. 위 그래프의 경우, 가속이 없기 때문에 기울기가 없이 평평하다. 거북이는 똑같은 속도로 이동한 것이다.

이제 거북이에게 스쿠터를 준다고 생각해보자. 일정한 속도로 이동하는 것이 아니라 스쿠터가 최고 속도에 도달할 때까지 거북이는 가속으로 달린다. 이 경우 처음 부분의 속도 그래프는 다음과 같은 모양이 된다.

이렇게 되면 상황은 아주 복잡해진다. 거북이가 이동한 거리를 찾기 위해서는 그래프 아래 면적의 넓이를 알아야 하는데, 곡선으로 이루어진 이 그래프의 넓이는 계산하기가 힘들기 때문이다. 그리고 특정 순간의 가속도를 알려면 그 순간의 곡선의 기울기를 측정해야만 한다. 하지만 이러한 어려움은 미분과 적분으로 해결할 수 있다. 넓이는 적분으로, 곡선의 기울기는 미분으로 계산할 수 있기 때문이다.

적분

적분은 무한소의 가는 사각형 여러 개를 곡선 아래에 그린 뒤 그 넓이를 모두 합하는 방식으로 곡선 아래의 넓이를 구하는 것이다. 이 방법은 와인 통을 쪼개서 계산한 케플러의 방식(드디어 인정받은 무한 항목 참조)이나 데모크리토스가 피라미드를 조각으로 나눴던 방법(수학의 탄생 항목 참조)과 매우 비슷하다.

우리는 각각의 직사각형 윗변의 중심점이 곡선을 통과할 수 있도록 곡선 아래에 직사각형들을 그려 대략적인 근사치를 구할 수 있다.

이 곡선은 직사각형의 왼쪽 귀퉁이를 자르면서 지나간다. 하지만 오른쪽에는 곡선이 지나가면서 생긴 공간이 있다. 잘려나간 직사각형 조각을 뒤집으면 곡선이 지나가며 생긴 공간 안에 잘 들어맞을 것이다. 직사각형의 크기가 작아지면 작아질수록 잘린 조각과 공간의 크기가 잘 들어맞는다.

이렇게 계산된 넓이(모든 사각형 넓이의 합)는 직사각형의 개수가 무한대로 많아질수록 곡선 아래의 실제 넓이와 같아진다. 이 넓이는 함수 f(t)를 적분한 값이다. 이 적분을 식으로 표현하면 다음과 같다.

a와 b는 적분이 이뤄지는 범위(면을 둘러싸고 있는 t의 상한과 하한)이다. 그리고 ‘dt’는 시간 내의 아주 작은 변화를 의미한다.

미분

시간 대 속도 그래프에서 평균 가속도는 주어진 시간의 시작점과 끝점 사이에 그려진 직선의 기울기이다. 이 선은 시컨트(secant)라고 부른다. 특정 순간의 가속도는 그 순간의 곡선 기울기(혹은 이 곡선의 탄젠트)로 구한다.

미분은 이 곡선의 기울기를 잴 때 아주 짧은 시간이라고 가정하고 그 시간의 시컨트 기울기를 계산하는 것이다(이 짧은 시간 간격을 ∆t라고 쓰고 ‘델타-t’라고 부른다. 이것은 그리스 대문자인 델타(∆)에서 온 것인데 아주 적은 양이라는 것을 보여주기 위해 사용된다).

∆t는 아주 짧은 시간 간격이다. ∆t를 작게 할수록 좀 더 정확한 결과가 나온다. 하지만 ∆t를 0으로 할 수는 없기 때문에 곡선의 기울기와 완전히 똑같아질 순 없을 것이다. 그러나 ∆t가 0에 점점 가까워지면 이 선도 점점 완벽에 가까운 기울기를 갖는다. 이로 인해 극한의 개념이 생기게 된다. 극한 함수는 ∆t가 0에 가까워질수록 요구되는 값(순간 가속도)에 가까워진다. 이것이 미분의 과정이다.

미적분을 안타깝게 놓쳐버린 사람들

해석 기하학에 관한 페르마의 연구에는 미적분 이론의 실마리가 나타난다. 페르마는 곡선의 접선을 찾아내는 것과 곡선 아래의 면적을 구하는 것을 다뤘다. 그가 이끌어낸 공식에서 이 둘은 역의 관계였다. 하지만 페르마의 관심은 곧 사라져버렸던 것 같다. 왜냐하면 그가 이것을 계속 연구하거나 설명하려고 애썼다는 증거가 없기 때문이다.

파스칼은 미적분을 발견할 수 있는 마지막 단계에 도달한 사람이었다. 수학의 여러 분야에 관심이 있었던 파스칼은 그만큼 여러 번 연구 주제를 바꿨다. 그리고 종교에 푹 빠지고 난 후에는 수학을 포기했으며 안타깝게도 젊은 나이에 사망하고 말았다. 만약 파스칼이 끝까지 매달렸다면 미적분의 비밀을 풀었을지도 모른다. 실제로 파스칼은 사인 함수의 적분을 연구하는 동안 미적분에 아주 가까이 다가갔었다. 이후에 라이프니츠는 파스칼의 연구를 읽는 것이 미적분으로 가는 길잡이가 되었다고 밝혔다.

미적분의 발전

해석 기하학의 발달과 더불어 이동을 대수학적으로 나타내는 것이 가능해졌다. 고대 그리스에서는 곡선을 이동점의 경로(궤적)로 보는 견해를 최초로 내놓았다. 대수 기하학의 발전으로 운동 궤적을 방정식의 형태로 나타낼 수 있었으며, 움직임으로 생겨난 여러 형태의 곡선을 일반화시키고 값을 예상할 수 있는 일정한 패턴을 찾아내는 게 가능해졌다.

예를 들어, 카발리에리는 포물선 아래의 넓이를 y = x²으로 나타낼 수 있다는 것을 알아냈다. x축의 값이 0에서 a에 해당하는 경우 넓이는 a³/3이다. 이와 비슷하게 y = x³인 곡선이 있다면 이 곡선 아래의 넓이는 a⁴/4이다. 이러한 경우에 곡선 y = xⁿ의 곡선 아래의 넓이를 구하는 공식 aⁿ⁺¹/(n+1)을 알아내는 것은 어렵지 않다.

라이프니츠와 뉴턴

영국의 아이작 뉴턴과 독일의 고트프리트 라이프니츠는 1670년경에 미적분의 기초를 이루는 연구 성과를 일구어냈다.

이 둘의 발견은 독자적으로 이루어졌다. 뉴턴과 라이프니츠 모두 곡선을 정의하는 방정식만이 주어진 상태에서, 곡선 위 한 지점의 접선을 계산할 수 있는 방법을 밝혀내려고 했다. 접선의 기울기는 (특정 순간의 움직임의 속도와 같은) 함수의 변화율을 보여준다.

두 사람 모두 적분은 미분이 일어나는 과정의 역이라는 것을 알았다. 미분의 결과를 적분하면 원래의 함수로 돌아가고 그 반대의 경우도 마찬가지이다. 이러한 발견은 변화율과 전체 값들 사이의 놀라운 관계를 보여준다.

곡선 y = x² 아래 면적의 넓이를 나타낸 이 표기는 라이프니츠가 사용한 것인데 그는 넓이를 이 표기의 합(길어진 s인 ∫로 나타냈다)으로 보았다. 이 경우에 x²은 x축(dx)을 따라 무한히 작은 크기로 나누어진다.

뉴턴과 라이프니츠는 미적분의 다른 면을 강조했고 미적분을 사용하려는 목적 또한 많이 달랐다. 뉴턴이 미적분을 발견함으로써 얻은 것 중 하나는 거듭제곱 수열을 다룰 수 있게 된 것이었다. 그는 x의 거듭제곱의 무한대의 합을 다룰 수 있었다.

뉴턴은 거듭제곱 수열의 미적분을 개발해 이 수열의 미분과 적분, 그리고 그 역을 구하는 방법을 보여주었다.

반면 라이프니츠는 미적분의 특성과 무한소의 합계를 구하는 데 더 관심이 있었다. 그는 연속적인 수를 마치 분리되어 있는 것처럼 다루었는데, 이는 라이프니츠와 다른 사람들이 결정적으로 간과했던 논리적 결점이었다. 이것은 제논의 역설에서 핵심적인 난제였고 그만큼 오래된 문제이기도 했다.

뉴턴은 1693년까지 미적분과 관련된 어떤 내용도 출판하지 않았지만, 라이프니츠는 이보다 9년 앞서 출판을 했다. 두 사람의 우선순위와 각 방법의 장점을 둘러싼 논쟁은 오랫동안 악영향을 미쳐 19세기까지 영국의 수학을 고립시키는 결과를 낳았다.

미적분의 영향

갈릴레오는 낙하하는 물체를 연구하면서 물체의 순간 속도를 측정해야만 했다. 이런 유형의 문제에는 미분이 유용하다. 뉴턴과 라이프니츠의 시대 이후로 미적분은 기계학, 물리학, 천문학, 경제학, 사회과학뿐 아니라 그 외 많은 분야에 적용되었다. 미적분은 물리학에 혁명을 가져왔고 수학을 더욱 발전시켰다. 그리고 연속적인 변화를 다루는 수학의 분과인 해석학을 만들어냈다.

속도가 변하면서 움직이는 물체의 이동 거리나 자동차에 사용된 총 연료를 계산하는 것처럼 작은 수들의 큰 집합을 더하는 데에는 적분이 유용하다. 미분은 전염병의 모델을 만들거나 항공기의 충돌을 막기 위해 비행 경로를 정하는 데도 사용된다.