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고대 그리스의 황금기

페르시아와 펠로폰네소스 사이에 전쟁이 벌어졌던 기원전 5세기경 아테네에서는 세계 역사상 가장 위대하다고 할 만한 지성을 꽃피웠다. 하지만 당시의 수학책들은 보존되지 않아 현재는 그 시대의 위대한 수학자들이 풀었던 수학 문제의 기록이 단편적으로 남아 있을 뿐이다.

그럼에도 그 시대에는 수학이 그 자체의 가치를 인정받았고, 지식 그 자체의 즐거움을 추구했다는 것을 쉽게 알 수 있다. 왜냐하면 그리스인들은 이 세계가 어떻게 움직이고 있는지를 수학을 이해함으로써 알 수 있다고 믿었기 때문이다.

그리스인들 덕분에 우리는 우주가 알 수 없는 신에 의해 통치되기보다는 이성적인 법칙이 지배하는 조화로운 세계라는 것, 지구가 둥글며 우주 안에서 움직인다는 것, 그리고 수학적 증명 등의 개념들을 알 수 있었다. 그리스 수학자들은 일상에서 사용하는 실용적인 기본 연산과 고차원의 수학 · 논리학을 연구하는 것에 구분을 두었다. 그리고 이 모든 것은 그리스인들의 문화유산에서 혜택을 받은 이들의 기록을 통해 지금 우리에게도 전해지고 있다.

세 가지 문제

그리스 수학자들은 세 개의 고전적인 기하학 문제를 정의했다. 그 세 문제 즉, 원과 같은 넓이의 정사각형 만들기, 임의의 각을 삼등분하기, 정육면체의 부피를 두 배로 만들기는 컴퍼스와 직선자만을 가지고 해결해야 했다. 이 문제들은 이후 풀 수 없다는 것이 증명되기 전까지 2200년 동안 수학자들을 괴롭혔다.

‘원을 어떻게 정사각형으로 만들 것인가.’라는 문제는 아낙사고라스와 관련해서 처음 생겨났다. 아낙사고라스는 자연 철학자였고 최초의 과학 베스트셀러 《자연에 대하여(On Nature)》를 썼다. 아낙사고라스는 태양이 신이 아니라 붉고 뜨거운 커다란 돌이며 그리스 반도와 섬을 합친 것보다 크고 태양에서 반사된 빛이 달을 빛나게 한다고 했다.

이러한 주장으로 인해 그는 감옥에 갇히게 되었다. 감옥에 있는 동안 아낙사고라스는 원을 정사각형으로 만드는 방법(어떤 원이라도 컴퍼스와 직선자만을 이용해서 똑같은 넓이의 정사각형으로 만드는)을 찾는 데 몰두했다.

직육면체의 부피를 두 배로 만드는 문제가 나타난 것은 아테네에 대역병이 돌던 때(BC430년)였다. 에라토스테네스에 따르면 그리스인들이 델로스(Delos)에 신탁을 요청하자 아폴로 신이 역병을 멈추고 싶으면 제단의 부피를 두 배로 만들라고 했다. 사람들은 당연히 변의 길이를 두 배로 늘려서 제단을 만들었는데, 그 결과 부피는 2배가 아닌 8배로 증가했다. 아폴로는 결과에 만족하지 못했고 전염병은 계속되어 인구의 4분의 1이 죽었다.

아폴로 신의 요구조건을 충족시킬 방법을 알 수 없었던 그리스의 장인은 철학자인 플라톤에게 조언을 구했다. 플라톤은 아폴로의 요구가 수학, 특히 기하학을 그리스인들이 무시한 것을 뉘우치게 하기 위한 것이라고 말했다(이 문제의 기원에 대한 또 다른 이야기에 따르면, 크레타의 왕인 미노스가 자신의 어린 아들이 꿀이 담긴 통에 빠져 죽자 무덤을 만들라고 했다. 미노스 왕은 무덤의 크기가 너무 작다며 원래 계획보다 두 배로 만들라고 명령한다).

인도의 경전 베다(Veda)에서는 처음에 간청하던 곳에서 두 번째 간청을 하기 위해서는 정육면체 제단의 부피를 처음 간청했을 때의 두 배로 만들어야 하는데 이것이 그리스인들에게 문제가 되었다고 한다.

독일 수학자인 카를 프리드리히 가우스는 직선자와 컴퍼스만을 가지고 정육면체의 부피를 두 배로 만드는 것은 불가능하다고 했고, 이것은 1837년에 피에르 방첼에 의해 증명되었다.

각을 삼등분하는 것은 덜 흥미로운 문제이기도 하고 이와 연관된 미신적인 이야기도 없다. 이집트인들이 밤에 시각을 알기 위해 별 사이의 각도를 나눠야 했기 때문에 이 문제가 생겨났을 수도 있다. 이 문제는 직선자와 컴퍼스만을 이용해서 임의의 각을 똑같이 삼등분하는 것이다. 어떤 각들은(예를 들어 90도 직각의 경우) 쉽게 삼등분할 수 있었고 그리스인들은 임의의 각을 삼등분하는 기계적인 방법을 이미 알고 있었다. 하지만 순수하게 이론적인 방법을 찾아내려는 그리스인들의 욕망은 실제로는 별 필요가 없는데도 그런 노력을 계속하게 했다.

기하학이 우주를 지배한다

그리스 수학자들은 무리수를 인정하려 하지 않았다. 기하학이 자연수나 자연수의 비로 나타낼 수 있는 수에만 한정된다면 설명할 수 없는 부분이 많다. 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선 길이를 구하는 문제만 봐도 쉽게 알 수 있다. 이것만으로도 피타고라스 학파의 체계가 무너지기에 충분했을 것이다. 엘레아 학파의 제논의 역설에서 나타난 두 번째 문제는 상황을 더 어렵게 만들었다.

제논의 역설은 측정 단위가 아무리 잘게 쪼개진다 해도 우리가 현실에서 보는 연속체를 표현하지 못한다는 것을 보여준다. 무한소^각주1) 의 수열조차도 인위적인 분류일 뿐이다.

이 두 가지 문제점(무리수의 존재와 무한하게 작은 부분으로 나누는 것)을 해결하기 위해서 그리스 수학자들은 생각의 틀을 바꿀 수밖에 없었다. 피타고라스 시대에 숫자는 점, 때론 조약돌(결석(calculi)이라고 불렸고 여기에서 계산(calculation)이라는 단어가 생겨났다)로 나타냈다. 하지만 200년 후인 유클리드의 시대에는 규모를 선분으로 나타냈다. 원자론^각주2) 은 연속성에 길을 내주었고, 우주의 기본 모델은 개별 숫자의 수학에서 기하학으로 바뀌었다. √2는 (그리스 용어로는) 숫자로 나타낼 수 없지만 √2를 선으로 그리는 것은 아주 쉽다.