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마법의 원주율 π

아주 옛날부터 원에는 종교적이고 신비로운 의미가 부여됐다. 원은 가로변이 없는(또는 가로변의 길이가 무한대인) 끝나지 않는 선으로 이루어진 완벽한 형태로, 자연 어디에서나 볼 수 있다.

사람들은 수천 년 동안 지름과 원주의 비율이 항상 일정하다는 것을 알고 있었고 이 비율에 특별한 의미를 부여했다. 우리는 그 비율을 그리스 문자인 π로 나타낸다. 이 표기는 스위스 수학자인 레온하르트 오일러에 의해 1737년에 대중화되었지만, 이 표기를 최초로 사용한 사람은 1706년 윌리엄 존스였다. π는 무리수이다. 무리수는 소수점 이하의 숫자가 무한대로 길어지는 수이다.

π 계산하기

바빌로니아인들은 현재 우리가 π라고 부르는 원주율의 값과 비슷한 3.125를 사용했다. 이 값은 한 원 안에 그린 육각형 둘레의 길이를 재거나 계산해서 얻은 것이었다.

아메스 파피루스는 이집트인들이 256/81 또는 3.16049라는 값을 사용했다는 것을 보여준다. 중국의 수학책인 《구장산술》에는 원의 넓이를 구하기 위해 지름을 제곱하고 4로 나눈 뒤 다시 3을 곱하라는 설명이 있다. 이 책에서는 π를 3으로 계산한 것이다.

아르키메데스는 좀 더 복잡한 방식을 개발했는데, 이것은 원의 안과 밖에 다각형을 그려 π의 상한치와 하한치를 동시에 구하는 것이었다. 아르키메데스는 다각형에 더 많은 선분을 추가해서 좀 더 정확한 근사치를 구할 수 있었다. 최종적으로 그는 96개의 선분으로 이루어진 다각형을 이용해서, 223/71과 22/7 사이의 값, 즉 두 수를 평균한 3.1418이라는 값을 얻어냈다. 아르키메데스도 이 원주율의 값에 반지름의 제곱을 곱하면(πr²) 원의 넓이를 구할 수 있다는 것을 알아냈다.

중국, 인도, 아랍의 수학자들도 꽤 정확한 π 값을 계산해냈지만 아르키메데스의 계산만큼 정확하진 않았다. 예를 들어 263년에 유휘는 직선 3,072개로 이루어진 다각형을 이용해서 3.1416이라는 값을 구했다. 17세기 말에는 더 나은 계산 방법이 나타났다. 영국의 수학자인 뉴턴은 이항정리를 사용해서 π를 소수점 이하 16자리까지 계산했다.

오늘날, 컴퓨터는 π를 소수점 이하 10¹² 자리까지 계산해냈고, π를 소수점 이하 10억 이상의 자리까지 계산하는 개인용 컴퓨터 프로그램들도 많이 나와 있다. 하지만 사실상 원주율의 값을 이렇게까지 정확하게 계산해야 할 필요는 없다.

원을 제곱하기

아낙사고라스로 인해 널리 알려진, 원을 제곱하는 문제는 고대의 수학자들에게도 골칫거리였다.

아메스 파피루스에는 원과 거의 같은 넓이의 사각형을 그리는 방법이 나와 있다. 원지름에서 9분의 1을 뺀 나머지의 길이를 사각형의 한 변으로 하는 것이다. 이것은 원을 제곱하기 위한 것이 아니라 원 넓이를 구하는 방법으로 나온 것이었다(여기에서 우리는 이집트인들이 사용했던 원주율의 값은 3.16049였다는 것을 알 수 있다).

그리스인들이 이 문제를 기하학적으로 풀지 못했다는 것은 이미 앞 장에서 언급했다. 이후에 이 문제를 풀려고 했던 수학자들도 모두 실패했다. 컴퍼스와 직선자를 사용해 원을 제곱하는 것은 18세기 유럽의 전문 수학자와 아마추어 수학자 모두에게 최대 관심사였다. 이 문제에 대한 틀린 답이 쇄도하자 1775년 파리의 과학 아카데미는 더 이상 이것들을 검토하지 않겠다는 결의안을 통과시켰다. 그 직후, 런던의 왕립학회에서도 같은 행동을 취했다. 상황이 이렇게 되자 π에 다른 값을 적용해서 근본적인 문제를 피하려고 한 수학자들도 있었다.

페르디난트 폰 린데만이 1880년에 π가 초월수(계수가 유리수인 방정식의 근이 아님)라는 것을 증명했는데, 이것은 곧 원을 제곱하는 것이 사실상 불가능함을 보여준 것이다. 직선자와 컴퍼스를 이용해 초월수를 다루는 것은 불가능하기 때문이다.

원뿔 곡선

원만 곡선으로 이루어져 있는 것은 아니다. 원과 원호가 최초로 연구되고 사용된 곡선이긴 하지만 초기에 기하학자들이 관심을 가졌던 또 다른 세 가지의 정곡선이 있었다. 이 세 가지 곡선은 포물선, 쌍곡선, 타원이다. 이들은 원뿔을 잘랐을 때 생기는 곡선들로, 원뿔 곡선이라고 부른다.

원뿔 곡선에 관한 영향력 있는 연구는 페르가의 아폴로니오스(262~190BC년 경)에 의해 최초로 이루어졌다. ‘위대한 기하학자’로 알려진 그는 알렉산더-그리스 시대의 기하학자이자 천문학자였다. 아폴로니오스의 연구는 현재 원뿔 곡선에 관한 논문만이 남아 있다. 논문의 처음 부분은 기존 글에서 가져온 것이지만 뒷부분은 완벽하게 아폴로니오스가 알아낸 것이었다. 유클리드의 기하학이 기존의 그리스 기하학을 완전히 바꿔놓았듯 아폴로니오스의 연구는 원뿔에 대한 기존의 연구를 전부 대체했다.

아폴로니오스는 자신이 이름 붙인 곡선이 어떻게 생겨났고 무엇을 의미하는지를 설명했으며, 주어진 점이나 곡선 위의 점들에서 그릴 수 있는 가장 짧은 직선과 긴 직선을 검토했다. 그는 이 논문에서 데카르트 좌표계(직교 좌표계)의 2차 방정식으로 곡선을 정의할 수 있는 기반을 마련했다. 실제로, 1800년 이후에 르네 데카르트는 동점, 고정된 선과 이동점의 관계에 관한 아폴로니오스 정리의 일반화에 반대하여 자신만의 해석 기하학을 시험했다.

아랍과 르네상스 시대의 수학자들은 모두 아폴로니오스에게 엄청난 빚을 진 셈이다. 몇 명의 아랍 수학자들이 원뿔 곡선으로 생겨난 도형의 넓이와 부피를 계산하는 방법을 찾기 위해 원뿔을 연구하긴 했지만 오마르 하이얌에 와서야 연구는 새로운 방향으로 발전하게 된다. 오마르 하이얌은 3차 방정식의 일반적인 증명에서 원뿔을 사용하면서 데카르트가 기하학에 대수학을 끌어오게 될 것을 어느 정도 예측했다(그는 데카르트가 아닌 자신의 후계자들이 근을 찾는 과정에서 대수학적 해결책을 찾아낼 수 있기를 바랐다). 유럽 르네상스 시대에 아폴로니오스의 업적이 재발견되면서 광학, 천문학, 제도법, 다른 실용과학이 발전할 수 있는 기반이 마련되었다.

광학과 만난 원뿔 곡선

분실된 아폴로니오스의 연구는 포물면 거울에 대한 것일 것으로 추측된다. 아폴로니오스는 ‘구면에서 반사되어 나온 빛은 초점을 맞추지 못한다.’는 것을 증명했다. 광학 분야에서 곡선은 놀라울 정도로 응용되고 발전되었다. 기원전 200년경에 디오클레스는 회전된 포물면(포물선을 회전시켜 만든 입체 도형)의 축에 평행한 광선은 포물면의 중심점과 만난다는 것을 기하학적으로 증명했다. 아르키메데스는 이것을 이용해 해안가에서 적의 배에 불을 붙였다고 한다. 빛이 중심점을 비출 수 있는 타원의 특성은 콘스탄티노플의 아야소피아 대성당의 건축에도 사용되어 하루의 어느 때라도 제단이 태양 빛으로 빛날 수 있게 했다.

몇 명의 아랍 과학자들은 원뿔 곡선으로 만들어진 거울의 특성을 조사했다. 알하이삼은 볼록면 거울에서 주어진 위치에 있는 물체가 보이는 한 점을 찾아냈고, 해시계에 필요한 곡선을 고안해내는 방법도 보여주었다.

이러한 특성들은 소리에도 똑같이 적용된다. 미국의 의회와 런던의 성 바울 대성당의 갤러리는 타원면으로 만들어진 갤러리의 한 지점에서 속삭인 소리가 또 다른 한 점에서 들릴 수 있게 설계되었다(그 외의 곳에서는 아무 소리도 들리지 않는다).

보다 최근의 예를 들자면, 인공위성 안테나와 태양열 집열판도 포물면의 반사하는 성질을 이용한 것이다. 포물면은 광선을 모아서 중앙의 수신기나 집열 장치로 빛을 쏘아 보내주는 역할을 한다. 수술하면서 몸안의 장기나 결석에 초음파의 초점을 맞출 때에도 같은 기하학이 사용된다.

갈릴레오의 포물체에 관한 연구와 케플러의 행성의 움직임에 관한 연구는 광학 이외의 주제에 원뿔 곡선이 적용된 가장 초기의 연구이다. 케플러는 지구가 태양 주위를 타원형 궤도로 돌며, 태양은 그 타원의 한 가운데에 있다는 것을 발견했다.

이후에 나타난 원뿔 곡선과 곡선에 관한 연구에서는 곡선 아래의 넓이나 곡선의 길이를 구하기 위해 무한소 분석(미적분학)을 사용했다. 하지만 원뿔 곡선에 대한 현대적 기반이 마련된 것은 17세기에 데카르트와 페르마가 해석 기하학을 발명하면서였다. 17세기와 그 이후의 수학자들은 원뿔의 단면을 잘라서 생긴 원뿔 곡선 대신, 변수가 2개인 2차 방정식을 따라 평면에서 움직이는 점들의 경로인 대수 방정식으로 원뿔 곡선을 정의한다. 이 시점에서 원뿔 곡선은 기하학이 아니라 대수학의 모습으로 다시 나타난다.