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기하학의 본질, 패턴과 대칭

가장 오래된 기하학이라고 할 만한 것들은 숫자를 기록하려는 움직임보다 앞서 나타났다. 많은 고대인들이 반복된 패턴이나 대칭 그리고 자신의 물건이나 구조물, 주거지 등을 장식할 수 있는 기하학적 패턴의 도형에 관심을 가지고 있었다는 증거들이 남아 있다. 이들 중에는 기원전 25000년경에 만들어진 것도 있다. 상당히 정교하게 지어지고 배열된 구조물들은 우리 선조들이 단순 형태의 기하학에 대해 알고 있었다는 또 다른 증거이다.

땅과 기하학

기하학과 관련된 실질적인 문제들은 틀림없이 건물을 지으면서 다루어졌을 것이다. 기하학 문제들이 기록된 것은 그 이후였다. 수메르인과 바빌로니아인, 이집트인은 2차원의 평면 도형과 3차원 물체들의 거리, 넓이, 부피를 계산하는 것에 익숙했다. 기원전 3100년경의 문서는 당시 이집트인과 바빌로니아인에게 저장 용기의 용량을 재는 수학 규칙이 있었다는 것을 보여준다. 기자의 대(大) 피라미드는 기원전 2650년경에 지어졌다. 이 건축물은 이집트인들이 기하학을 상당히 잘 이해하고 있었음을 증명해준다.

그리스 역사가인 헤로도토스에 따르면, 나일강이 해마다 홍수로 범람해서 소유지의 경계가 지워져버렸기 때문에 이집트인들은 넓이를 계산할 수 있어야 했다고 한다. 이집트인들에게는 기준점과 경계선을 제대로 복구할 수 있는 측량술이 필요했다. 밧줄을 이용해 거리와 형태를 측정하고 표시하던 이집트 기하학자들은 때론 ‘밧줄을 당기는 사람들(rope-stretcher)’로 불렸다. 홍수가 지나간 뒤에 땅을 다시 개간하면서 건물을 짓기 위해 땅의 평면도를 만드는 데에도 같은 기술이 사용되었다.

기록되기 시작한 기하학

수학과 관련된 가장 오래된 문서는 이집트의 아메스 파피루스(린드 파피루스라고도 부름)이다. 이것은 기원전 1650년경에 필기사였던 아메스가 당시보다 대략 200년 앞선 고문서를 베껴 쓴 것이다. 그 고문서는 훨씬 더 오래된 재료로 만들어졌을지도 모른다. 이것은 세로 33센티미터, 가로 5미터가 넘는 길이이다. 여기에는 산술, 대수학, 기하학, 무게와 측정 등을 주제로 하는 84개의 수학 문제들이 담겨 있다. 이 문제에는 완벽하게 실용적인 예가 주어진다. 예를 들어 “지름이 9케트(khet)인 원형의 땅이 있다. 이 땅의 넓이는?”이라고 묻는다. 같은 연대의 유명한 모스크바 수학 파피루스에는 피라미드의 부분적인 부피를 구하라는 문제가 나와 있다.

이집트인들은 내구성이 약한 파피루스에 기록했기 때문에 현재는 수학과 관련된 기록들이 거의 남아 있지 않다. 티그리스강과 유프라테스강에 의해 형성된 비옥한 분지인 메소포타미아 지역의 사람들은 점토판에 기록하고 그것을 구워냈다. 이 기록들은 훨씬 오랫동안 보존될 수 있었고 현재도 100,000개의 기록이 남아 있다.

기원전 1800~1650년으로 거슬러 올라가는 바빌로니아의 점토판에는 현재 우리가 피타고라스의 정리라고 부르는 것을 사용해 직각 삼각형의 빗변을 계산하는 방법과 사각형, 삼각형, 원의 넓이를 구하는 방법이 나와 있다. 예를 들어, 어떤 수학 문제에서는 벽에 기대어 있던 사다리의 꼭대기가 미끄러졌을 때 사다리의 다리가 움직이게 되는 거리를 묻는다.

점토판에는 소수점 이하 다섯 자리까지 거의 정확한 2의 제곱근도 나와 있다. 바빌로니아인들이 사용했던 위치 기수법은 모든 계산에서 이집트인들이 사용했던 숫자보다 훨씬 쉬웠다. 그렇지만 바빌로니아인들이 숫자에 관심을 가졌기 때문에 위치 기수법을 발달시켰는지, 아니면 위치 기수법을 사용했기 때문에 그 결과 숫자에 관심을 가졌는지는 알 수 없다.

이집트인들과는 달리 바빌로니아인들은 일반 원리라는 개념을 가지고 있었다. 이것은 “어떤 수학적인 진술은 어떤 상황에서도 참이다.”를 의미한다. 예를 들어, 한 점토판에는 정사각형의 한 변과 대각선의 비율이 나와 있다. 바빌로니아의 수학자들은 1:√2라는 비를 도출했는데, 이것이 의미하는 것은 정사각형의 한 변에 √2를 곱하면 어떤 크기의 정사각형에 대해서도 대각선의 길이를 구할 수 있다는 것이다.

하지만 이집트인과 바빌로니아인 모두 정확성에 대해서는 그리 신경 쓰지 않았다. 정확하게 계산의 답을 내놓거나 넓이를 구할 때 꽤 정확한 추산치를 구했지만, 이것이 정확한 답이 아니라는 것을 인정하진 않았다.

예를 들어, 이 도형의 넓이는 다음과 같이 구한다.

이 공식으론 근사치를 구할 수 있을 뿐이다.