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조건에 따라 변하는 확률

구성원이 4명인 가족이 있는데, 자녀 2명 중 한 명은 아들이라고 합니다. 이때 나머지 한 명도 아들일 확률은 얼마일까요? 아마 대부분 ‘딸, 아들 중 한명이니까 확률은 일거야!’라고 생각할 텐데요. 하지만 결론부터 말하자면 나머지 한명이 아들일 확률은 이랍니다.

한 번 생각해 보죠. 자녀가 2명이면 첫째와 둘째가 순서대로 (아들, 아들), (아들, 딸), (딸, 아들), (딸, 딸)의 4가지 구성이 가능합니다. 그런데 이미 ‘한 명은 아들’이라는 조건이 주어졌기 때문에 (딸, 딸) 의 경우가 제외됩니다. 이제 (아들, 아들), (아들, 딸), (딸, 아들)의 경우만 남게 됩니다. 여기서 둘 중 적어도 한 명은 아들인 경우에서 나머지 한명도 아들일 경우를 생각해 보면 (아들, 아들)이 되는 한 가지 경우 밖에 없습니다. 따라서 구하는 확률은 이 되는 것이지요.

그런데 만일 이 문제의 조건인 ‘자녀 2명 중 한 명은 아들’이라는 조건을 ‘첫 번째 자녀가 아들’이라는 조건으로 바꾼다면 확률은 어떻게 될까요?

첫 번째 자녀가 아들이므로 일단 (딸, 아들), (딸, 딸)의 경우는 제외되고, (아들, 아들), (아들, 딸)의 경우만 남습니다. 이때 두 번째 자녀도 아들인 경우는 (아들, 아들), (아들, 딸) 중 한 가지이므로 확률은 이 되겠지요.

이처럼 조건이 어떻게 주어지느냐에 따라서 확률이 달라지는 경우가 있는데 이것을 우리는 ‘조건부확률’이라고 부릅니다.

조건부확률은 B라는 조건 아래에서 A라는 사건이 일어날 확률을 말합니다. 기호로 P(A|B)라고 나타내고 다음과 같이 계산합니다.

ⓒ 북멘토 | CC BY-NC-ND

이때 P(B)는 B가 일어날 확률을 의미하고, P(A∩B)는 A와 B가 동시에 일어날 확률을 의미합니다.

어떤 상자를 선택해야 할까?

자, 이제 철이의 선택을 도와줍시다. 이 문제는 위에서 설명한 조건부확률 중에서도 특히 까다로운 문제입니다. 미국의 텔레비전 프로인 ‘흥정합시다(Let’s Make a Deal)’에서 나온 문제로 사회자의 이름을 따서 ‘몬티 홀 문제’라고도 합니다. 세 개의 상자에 당첨 구슬은 하나뿐이라고 하고, 철이가 상자를 선택했을 때 그 안에 당첨 구슬이 들어 있을 확률은 이 됩니다. 만일 철이가 1번 상자를 선택했다고 한다면 1번 상자에 당첨 구슬이 들어 있을 확률은 이고, 꽝 구슬이 들어 있을 확률은 가 됩니다. 역으로 생각하면 선택하지 않은 2번 또는 3번에는 당첨 구슬이 들어 있을 확률이 가 되고, 꽝 구슬이 들어 있을 확률은 이 됩니다.

그런데 이때 사회자가 3번 상자를 열어 꽝 구슬이 들어 있음을 보여 주었다면 2번 또는 3번에 당첨 구슬이 들어있을 확률이었던 를 고스란히 2번 상자가 가지게 되는 것입니다. 그래서 2번 상자에 당첨 구슬이 있을 확률이 가 되어서상자의 선택을 바꾸는 쪽이 철이가 상품을 받는 데 유리하겠지요.