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분모와 분자에 같은 무리수룰 곱해서 분모를 유리수로 고치던데요. 대체 분모의 유리화는 왜 하나요?

‘분모의 유리화’라고 하는 것은 분모에 근호가 있을 때, 분모와 분자에 같은 무리수를 곱하여 분모를 유리수로 고치는 것을 말합니다. 예를 들어, 의 경우, 의 분모와 분자에 각각 를 곱하면 분모가 로 바뀌게 되어 분모가 유리수로 바뀝니다.

그렇다면, 의 경우에는 어떻게 할까요? 과 같이 분모와 같은 무리수를 분모와 분자에 똑같이 곱하면 될까요?

그렇지 않습니다. 무리수인 은 제곱을 해도 무리수가 됩니다.

따라서 무리수 에 어떤 수를 곱하여 유리수로 바꾸려고 하면, (a＋b)(a－b)＝a²－b²을 이용하여 유리수로 바꿀 수 있습니다.

그러므로 의 분모를 유리수로 바꿀 때에는, 분모와 분자에 각각 을 곱하면 됩니다.

이와 같은 분모의 유리화 방법은 교과서에 자세히 나와 있습니다. 그런데 왜 분모의 유리화를 해야 하는지, 분모가 무리수가 아니라 유리수라면 어떤 점이 좋은 지에 대한 설명은 다소 부족한 듯합니다. 그렇다면 분모가 무리수일 때 어떤 문제점이 있을까요?

앞에서 살펴본 을 생각해 봅시다. 여러분이 ＝1.414213···라는 사실을 이미 알고 있다고 해도, 의 값이 얼마인지 알 수 있을까요?

라는 수도 값을 알 수 없다면, 여러분의 머릿속에 가 수라는 느낌이 들지 않을 것입니다. 그런데 의 값을 안다면 ‘아, 는 1.414보다 조금 큰 수이구나!’라고 생각할 수 있으며, 비로소 를 수로 받아들이게 됩니다.

역시 마찬가지입니다.

1÷(1.414213···)의 값은 구할 수 없어서 크기를 알 수 없기 때문에 을 하나의 수로 받아들이기가 어렵습니다. 그런데 의 분모를 유리화하면 가 되는데, 이 수는 어떠한가요?

과 달리 의 값은 쉽게 알 수 있습니다. 따라서 , 와 같은 무리수의 값의 크기를 예측하고, 수직선 위에 표현하는 활동을 통해 실수의 대소 관계를 이해하기 쉽도록 해 줍니다. 이와 같이 분모의 유리화는 중학교 과정에서는 학생 스스로 무리수에 대한 개념을 정립하는 데 필요합니다.