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우리가 즐기는 게임 속에도 함수가 숨어 있나요?

1878년에 샘 로이드는 다음과 같은 15-퍼즐을 고안하여 1000달러의 상금을 걸어 놓은 적이 있었습니다.

사각의 작은 상자에 1부터 15까지의 번호가 적힌 15장의 말이 나열되어 있고, 한 군데만 비어 있습니다. 그 빈 곳으로 말을 넣으면서 하나씩 움직여 말의 배열을 바꾸는 놀이 기구였습니다. 1부터 15까지의 숫자를 차례대로 배열하고 가장 마지막 모서리에 빈 곳을 만들어 둔 것이지요. 이 퍼즐을 이용하여 다음 그림과 같이 14와 15의 말만을 맞바꾼 배열로 만들면 상금을 준다는 공고를 한 것입니다.

어떻게 움직이면 될까요?

충분히 많은 연습을 하지 않고도 이것이 과연 가능한지 알 수 있을까요?

그러나, 상금을 손에 쥔 사람은 아무도 없었습니다. 그 이유는 퍼즐의 풀이가 불가능하기 때문이었습니다. 그것은 이 안에는 두 숫자의 교환 과정에 숨어 있는 함수적인 규칙이 있었기 때문입니다. 가능한 것들 사이의 교환 횟수는 짝수가 되는 규칙이 있었으나 샘 로이드의 문제는 홀수가 되는 규칙이 있어 절대로 맞출 수 없는 것이었던 것이지요.

일반적으로 위치를 교환하는 것을 치환이라 하고 가능한 숫자 배열 사이의 일대일 대응이라는 관계 규칙이 있었던 것입니다. 독자 여러분, 스마트폰의 어플 관련 마켓에서 ‘15puzzle’을 찾아 핸드폰에 깔아서 직접 해 보는 것은 어떨까요?