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확률이란?

어느 휴일 날 한 수학자의 집에 마을의 이웃 사람들이 놀러와 함께 점심 식사를 하게 되었어요. 어쩌다 보니 확률을 어떻게 계산해야 하는지가 화제가 되었어요.

집주인인 젊은 수학자가 동전 하나를 꺼내 들고 설명했어요.

“식탁 위에 이 동전을 던집니다. 앞면이 나올 확률은 얼마입니까?”

“우선 ‘확률’이란 무엇인가부터 설명해 주세요. 많은 사람들이 그 뜻을 제대로 알고 있지 못하니까요.”

하고 몇 사람이 일제히 말했어요.

“네, 좋습니다. 그것은 간단해요. 1개의 동전을 책상 위에 뿌리면 나오는 결과는 두 가지뿐입니다. 앞면이 나오거나 뒷면이 나오거나 둘 중 하나인 거죠. 여기서 일어날 수 있는 모든 경우의 수는 오직 두 가지뿐입니다. 이들 경우 중 우리가 바라는 특정한 경우는 한 가지뿐입니다.

수학적으로 사건 A가 일어날 확률 P(A)는 다음과 같이 정의합니다.

ⓒ 북멘토 | CC BY-NC-ND

이 이 동전 앞면이 나올 ‘확률’을 나타냅니다. 즉, 확률이란 어떤 일이 일어날 가능성을 수로 나타낸 것이지요. 따라서 반드시 일어나는 사건은 1로 표시되고, 절대로 일어나지 않는 사건은 0으로 표시됩니다.”

“동전의 경우는 간단하지만······.”

그런데 누군가가 끼어들었어요.

“더 복잡한 경우, 예를 들면 주사위의 경우는 어떤가요?”

“네, 설명 드리지요.”

수학자는 계속 열심히 설명했어요.

“주사위는 정육면체의 각 면에 각각 눈이 새겨져 있습니다. 던져진 주사위가 어떤 점수가 될 확률, 가령 6의 눈이 나올 확률은 얼마일까요? 이 경우 일어날 수 있는 모든 경우의 수는 6입니다. 이들 중 6의 눈이 나올 경우는 오직 1가지뿐이지요. 그러므로 확률은 이 됩니다.”

“어떤 경우라도 확률은 계산할 수 있나요?”라고 어떤 여인이 물었어요.

“예를 들어 이러한 것을 생각해 보세요. 이 식탁의 창문으로 우리가 보는 최초의 통행인은 남자일 것이라고 예상했다고 합시다. 그런 경우 이 예상이 맞을 확률은 얼마가 될까요? 이것도 계산할 수 있습니까?”

“물론입니다. 1살짜리 남자아기도 남자라고 한다면 그 확률은 이지요. 세상의 남성의 수는 여성의 수와 같다는 가정에서요.”

“그렇다면 처음의 통행인 두 사람이 모두 남성일 확률은 얼마일까요?”

“이 계산은 앞의 것보다 조금 복잡합니다. 여기서 일어날 수 있는 모든 경우의 수를 살펴봅시다.

첫째, 통행인 2명이 모두 남자일 경우
둘째, 처음은 남성이고 다음은 여성인 경우
셋째, 처음은 여성이고 다음은 남성일 경우
마지막으로 통행인 2명 모두 여성인 경우

즉 일어날 수 있는 모든 경우의 수는 4가지가 있습니다. 그중 원하는 경우는 단 한 가지이므로 확률은 입니다. 이것으로 당신의 문제는 해결된 셈이지요.”

“잘 알겠어요. 그렇다면 최초의 통행인 3명 모두 남성일 확률은 얼마이지요?”

“네 그것도 계산해 볼까요? 다시 가능한 경우의 수부터 계산해 봅시다. 행인 2명의 경우는 이미 알듯이 4가지입니다. 세 번째 통행인을 더했을 때 일어날 수 있는 경우의 수는 2배가 됩니다. 왜냐하면 통행인 2명일 때의 경우 4가지 각각에 세 번째 통행인이 남성이거나 여성이거나의 두 가지가 더해지기 때문이지요. 따라서 일어날 수 있는 모든 경우의 수는 4×2＝8이 됩니다. 여기서 원하는 경우는 단 한 가지이므로 구하는 확률은 정확히 이 됩니다. 여기서 여러분은 확률을 계산하는 규칙을 알아차릴 수 있을 것입니다. 즉 통행인이 2명일 때는 , 3명일 때는 입니다.”

최단거리로 점 A에서 점 B로 이동할 때 점 Q를 지날 확률

이렇게 계산하면 될까요?

그림의 점 A에서 점 B로 이동하는 방법은 다음과 같이 6가지입니다.

ⓒ 북멘토 | CC BY-NC-ND

이 중에서 점 Q를 거쳐 가는 경우의 수는 4이므로 점 A에서 점 B로 이동할 때 점 Q를 지나갈 확률 P는 다음과 같습니다.

ⓒ 북멘토 | CC BY-NC-ND

그런데 이 계산은 올바른 것일까요? 결과를 먼저 말하자면 이것은 잘못된 것입니다. 여기서 놓쳐서는 안 되는 중요한 개념이 하나 있어요. 아래 두 가지 경우를 살펴봅시다.

A → D → Q → F → B의 확률은 이고,

A → D → I → F → B의 확률은 이죠.

따라서 위 두 가지 경우는 A지점에서 B지점까지 갈 수 있는 경우의 수를 셀 때 일어날 가능성이 동일하지 않기 때문에 각각을 한 가지로 계산하는 것은 잘못된 것입니다. 따라서 다음과 같이 계산해야 합니다.

A → D → Q → F → B : P₁ ＝

A → D → Q → G → B : P₂ ＝

A → E → Q → F → B : P₃ ＝

A → E → Q → G → B : P₄ ＝

∴ P ＝ P₁ ＋ P₂ ＋ P₃ ＋ P₄ ＝