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평면에서 임의의 점 1개를 지나는 원은 항상 존재할까요?

평면에서 임의의 점 1개를 지나는 원은 항상 존재하며 무수히 많이 있습니다.

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임의의 점을 A라고 한다면, 점 A가 아닌 다른 점 P를 원하는 위치에 찍고 점 P를 중심으로 를 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있습니다. 원의 중심인 점 P는 평면 위의 어떤 곳에나 찍을 수 있으므로 점 A를 지나는 원은 무수히 많이 그릴 수 있습니다.

평면에서 임의의 점 2개를 지나는 원은 항상 존재할까요?

임의의 점 2개를 지나는 원을 그리는 방법을 생각해 봅시다. 서로 다른 2개의 점을 각각 A, B라고 한다면 두 점은 모두 원의 중심으로부터 같은 거리에 있어야 합니다. 즉, 인 점 P, 즉 원의 중심을 찾고, (또는 )를 반지름으로 하는 원을 그리면 됩니다. 두 점에서 같은 거리에 있는 점 P는 다음 그림과 같이 의 수직이등분선 위에 있으므로 의 수직이등분선 위의 모든 점은 점 P가 될 수 있습니다. 따라서 임의의 두 점을 지나는 원은 무수히 많습니다.

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평면에서 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점을 지나는 원은 항상 존재할까요?

평면에서 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점을 각각 A, B, C라 하면, 이 세 점 또한 원의 중심 P에서 같은 거리에 있어야 합니다. 즉, , , 의 수직이등분선을 각각 그었을 때 한 점에서 만난다면 그 점은 세 점 A, B, C에서 같은 거리에 있는 점이므로 세 점을 지나는 원의 중심이라고 할 수 있습니다.

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그림처럼 , , 의 수직이등분선은 한 점 P에서 만나는데, 이 점을 삼각형 ABC의 외심이라 하며, 이 점에서 세 꼭짓점까지의 거리는 같습니다. 이때 삼각형의 외심은 단 한 개 밖에 존재하지 않으므로 평면에서 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점을 지나는 원은 단 한 개 밖에 없습니다.

평면에서 서로 다른 4개의 점을 지나는 원은 항상 존재할까요?

앞에서와 같은 방법으로 생각하면, 4개의 점이 한 원 위에 있기 위해서는 원의 중심이 4개의 점에서 모두 같은 거리에 있어야 합니다. 그런 점이 항상 있는지 생각해 봅시다.

네 점에서 같은 거리에 있는 점을 찾기 위해 일단 세 점 A, B, C에서 같은 거리에 있는 점 P(삼각형 ABC의 외심)를 찾고, 그림과 같이 점 A, B, C를 지나는 원을 그려 봅시다.

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그림에서 보는 바와 같이 점 D는 항상 원 위에 존재할 수 있는 것은 아닙니다. 원의 외부에 있을 수도 있으며, 원의 내부에 있을 수도 있습니다. 물론 원 위에도 있을 수도 있습니다.

즉, 네 점이 한 원 위에 있을 조건이란 세 점이 이루는 원 위에 네 번째 점이 있는 특별한 조건을 말합니다. 따라서 서로 다른 4개의 점을 지나는 원이 항상 존재하는 것은 아닙니다.