백과

x에 관한 함수 f(x)

수학에서 사용하는 기호들은 하나하나가 오랜 역사의 산물입니다. 옛날부터 수학자들은 편리하고 알아보기 쉽게 수학을 설명하기 위해서 기호를 썼습니다.

＋, － 덧셈기호는13세기 이탈리아의 수학자 레오나르도 피사노가 만들었다고 하는데, 현재와 같은 덧셈, 뺄셈의 기호로 쓰기 시작한 것은 1514년 네덜란드의 수학자 호이케라고 해요. × 기호는 1631년 영국의 수학자 윌리엄 오트레트가 「수학의 열쇠」라는 책에 처음 사용하였습니다. ÷ 기호는 분수를 나타내던 모양인데 10세기경부터 사용되었으며, 1659년 요한 하인리히랜이 「대수학」이라는 책에 사용하면서 널리 쓰이게 되었다고 합니다.

＝ 기호는 1557년 영국의 수학자 레코드의 「지혜의 숫돌」이라는 책에서 처음 사용되었어요.

함수를 나타내는 f는 독일의 수학자 라이프니츠가 처음 사용했다고 합니다. 함수는 영어로 ‘function’인데 머리글자를 따서 만든 것이지요. 이후에 오일러가 에 대응하는 함수라는 뜻으로 f(x)를 쓰기 시작했는데, 함수가 여러 개일 때는 처럼 여러 문자를 사용하였습니다.

그러면 함수를 나타내는 f(x)에는 어떤 의미가 담겨 있을까요? f(x)는 x를 독립변수^각주1) 로 하는 함수(x에 관한 함수)라는 뜻이 강합니다. 다음의 두 함수식을 살펴봅시다.

f(x) ＝ x² ＋ a²
g(a) ＝ x² ＋ a²

두 함수식은 꼭 같은 모양이지만 변수가 다릅니다. f(x)는 x에 관한 함수, 즉 독립변수가 x인 함수이지만, g(a)는 a에 관한 함수입니다. 그러면 변수의 값이 0일 때 함숫값을 구해볼까요? 함수 f(x) ＝ x² ＋ a²에는 x에 0을 대입하여야 하고, g(a) ＝ x² ＋ a²에는 a에 0을 대입하여야 하므로 다음과 같은 함숫값이 구해집니다.

f(0) ＝ 0² ＋ a² ＝ a²
g(0) ＝ x² ＋ 0² ＝ x²

결과가 전혀 다르죠? 그러므로 f(x)와 g(a)는 서로 다른 함수입니다.

하지만 다음과 같은 함수는 전혀 상황이 다릅니다.

f(x) ＝ 2x ＋ 3
g(a) ＝ 2a ＋ 3

이때는 독립변수가 다르지만 규칙이 같으므로 같은 함수입니다.

모습은 다르지만 같은 함수

다음 세 함수식을 비교해 봅시다.

f(x) ＝ x ＋ 2
g(2x) ＝ 2x ＋ 2
h(x＋3) ＝ x ＋ 5

f(x) ＝ x ＋ 2는 x에 관한 함수이며, x에 2를 더하는 규칙입니다. x에 수를 대입해 보면 다음과 같이 나타납니다.

그런데 g(2x) ＝ 2x ＋ 2는 x에 대한 함수이며, 2x에 2를 더하는 규칙입니다. 변수가 2x라는 사실에 주의하면서, x에 수를 대입해 보면 다음과 같이 나타납니다.

또한 h(x ＋ 3) ＝ x ＋ 5는 x ＋ 3에 대한 함수이며, x에 5를 더하는 규칙입니다. 달리 말하면, x ＋ 5 ＝ x ＋ 3 ＋ 2이므로 x ＋ 3에 2를 더하는 규칙이라 말할 수도 있습니다. 변수에 주의하면서, x에 수를 대입해 보면 다음과 같이 나타납니다.

이렇게 보면 세 함수 f, g, h는 겉모양은 서로 다르지만 각 원소에 대응하는 원소가 같으므로 같은 함수입니다.