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, , 은 모두 0아닌가요? 그리고 유리수의 정의에서 분모가 0인 경우를 제외하는 이유는 뭐죠?

중학교 1학년에서 , , , , ···과 같이 ‘분자와 분모가 모두 정수인 분수로 나타낼 수 있는 수를 유리수라고 한다.’라고 배웁니다. 그런데 여기에서 그치지 않고 ‘단, 분모는 0이 아니다.’라는 단서가 붙습니다. 왜 ‘단, 분모는 0이 아니다.’라는 단서 조항이 생겼을까요? 또 분모가 0이 되면 안 되는 이유는 무엇인가요?

우리는 초등학교 때, 나눗셈은 곱셈의 역연산^각주1) 이라고 배웁니다. 좀 더 구체적으로 살펴보면

가 성립한다는 사실을 여러분은 잘 알고 있을 것입니다. 그럼 이제 0으로 나누는 두 가지 경우에 대해 생각해 봅시다.

먼저 ‘20÷0’은 얼마일까요? 만약 ‘20÷0＝∆’라면 ‘∆×0＝20’이 성립함을 예상할 수 있습니다. 그런데, ‘∆×0＝20’에서 ∆가 어떤 수이더라도 0이라는 수를 곱하기 때문에 절대로 20이라는 값이 나올 수 없습니다. 따라서 ‘20÷0＝∆’를 만족하는 ∆에 해당하는 수는 존재할 수 없다는 것을 알 수 있습니다.

그렇다면 ‘20÷0’의 값은 얼마일까요? 만약 ‘0÷0＝□’가 성립한다면, ‘□×0＝0’ 또한 성립합니다. 하지만 ‘□×0＝0’에서 □에 어떤 수를 넣어도 0을 곱하기 때문에 결국 항상 결과는 0이 될 수밖에 없으므로 에는 모든 수가 들어갈 수 있습니다. 따라서 ‘0÷0＝□’를 만족하는 □에 해당하는 수는 “바로 이것이다.”라고 정할 수 없으므로 그 값을 말할 수 없습니다.

이럴 경우 ‘∆×0＝20’을 만족하는 ∆에 해당하는 수는 존재할 수 없다고 하여 ‘불능’이라고 하며, 꼴을 뜻하기도 합니다. 또한, ‘□×0＝0’를 만족하는 □에 해당하는 수는 “바로 이것이다.”라고 결정할 수 없으므로 ‘정할 수 없다.’라는 뜻의 ‘부정’이라고 하며, 꼴로 표현하기도 합니다.

유리수의 정의에서 분모가 0인 경우를 유리수에서 제외하는 이유도 분모가 0인 경우에는 그 값이 존재하지 않거나, 정할 수 없는 경우이기 때문입니다. 즉, 유리수는 모두 의 꼴로 나타내어지며 그 수의 크기를 결정하여 수직선 위에 나타낼 수 있다는 사실을 꼭 기억하길 바랍니다.

마지막으로, , , ···과 같이 꼴로 나타내어지는 수의 경우는 위에서 살펴본 것처럼 곱셈의 형태로 바꿔서 생각해 보면 값을 알 수 있습니다.

만약 ‘’가 성립한다면, ‘◇×2＝0’ 또한 성립하므로 ‘◇×2＝0’을 만족하는 ◇는 0밖에 없음을 알 수 있습니다. 따라서 같은 방법으로 생각해 보면

이 됩니다. 쉽게 생각해서 아무 것도 없는 상황인 0을 몇 명이 서로 나눠 가져도 결국 한 사람이 갖는 양은 0일 수밖에 없는 것이죠. 즉, 분모가 0이 아닌 정수일 때, 분자가 0이면 그 수는 항상 0입니다.

수학에서 쓰는 ‘같다’의 의미

수학에서 등호(＝)는 3가지의 의미를 가지고 있다.

하나는 다음 식처럼 항상 성립한다는 뜻을 가지고 있다.

두 번째는 근삿값이 어떤 값으로 가까이 가고 있다는 의미의 ‘같다’가 있다.

예를 들어 1＝＝0.99999999999999···이지요. 는 1로 가까이 가고 있다는 의미를 ＝로 나타낸 것이다. 다음 그림과 같이 무한히 많은 꼴의 분수의 합은 1로 가까이 가고 있다는 극한 개념을 가지고 있다.

마지막으로 등호가 갖고 있는 의미는 방정식에서 등호를 만족하는 x가 존재한다는 존재론의 의미를 가지고 있다. 2x－3＝7에서 등호를 만족하는 실수 x가 존재한다는 존재성의 의미를 가지고 있는 것이다.