백과

직사각형의 넓이는 왜 ‘가로×세로’인가요?

다음과 같은 직사각형의 넓이는 단위넓이인 정사각형의 개수를 세어 구할 수 있습니다.

이 직사각형은 가로의 단위길이가 6개, 세로의 단위길이가 3개이므로 정사각형의 개수는 18개이고, 각 정사각형의 넓이가 1이므로 전체 넓이는 18입니다. 즉, 정사각형의 개수인 18이 넓이가 됩니다.

이렇게 직사각형을 이루는 정사각형의 개수는 ‘(가로의 단위길이 개수)×(세로의 단위길이 개수)’로 구할 수 있는데, 단위길이가 1이므로 각 변의 단위길이의 개수는 곧 각 변을 이루는 길이와 같습니다. 즉, 개수가 바로 각 변의 길이이므로 직사각형의 넓이는 ‘가로×세로’로 구할 수 있습니다.

삼각형의 넓이는 왜 ‘×밑변×높이’인가요?

임의의 직사각형에 대각선을 그으면 그 직사각형은 합동인 2개의 삼각형으로 나눌 수 있습니다. 즉, 1개의 삼각형의 넓이는 직사각형의 절반이 됩니다.

그런데 임의의 직사각형을 2개의 직사각형으로 나누고 각각의 직사각형에 대각선을 그으면 삼각형이 나오므로 삼각형의 넓이는 직사각형 넓이의 이 됩니다.

따라서, 삼각형의 넓이는 ‘가로×세로×’이라고 말할 수 있으며, 이때 가로의 길이는 삼각형의 밑변과 같고, 세로의 길이는 삼각형의 높이가 되므로, 삼각형의 넓이는 ‘×밑변×높이’로 구할 수 있습니다.

삼각형의 넓이를 구하는 식은 다음과 같이 종이접기를 통하여 알아볼 수도 있습니다. 색종이에 삼각형을 그리고 가위로 잘라서 다음과 같이 접습니다.

삼각형이 접혀 두 겹의 직사각형이 됩니다. 이 직사각형의 밑변과 높이의 길이는 각각 삼각형의 밑변과 높이의 절반입니다. 그렇다면 주어진 삼각형의 넓이는 직사각형을 이용하여 구할 수 있습니다. 직사각형의 가로의 길이는 주어진 삼각형의 밑변 길이의 이고, 직사각형의 세로의 길이는 삼각형 높이의 입니다. 직사각형은 2겹이므로 삼각형의 넓이는 ‘(직사각형의 넓이)×2’이고, 가로와 세로의 길이 대신에 밑변과 높이를 이용해서 표현하면 ‘(밑변×)× (높이×)×2 ’이므로, 삼각형의 넓이는 ‘밑변× 높이×’로 설명할 수 있습니다.

다음 그림과 같이 높이가 나와 있지 않은 경우에도 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알면 삼각형의 넓이를 구할 수 있습니다.

이것은 중학교 3학년 과정에 나오는 내용인데 삼각비를 이용하여 높이를 구하면 csinA이고, 이를 ‘× 밑변× 높이’에 적용하면 bcsinA가 됩니다.

평행사변형의 넓이는 왜 ‘밑변×높이’ 인가요?

다음 그림과 같이 직사각형의 한쪽 끝부분을 삼각형으로 잘라서 반대편에 붙이면 평행사변형이 됩니다.

즉, 평행사변형의 넓이는 원래의 직사각형의 넓이와 같습니다. 따라서 그 넓이는 ‘가로×세로’이며, 이때 가로의 길이는 평행사변형의 밑변의 길이와 같고, 세로의 길이는 평행사변형의 높이와 같으므로 평행사변형의 넓이는 ‘밑변×높이’가 됩니다.

마름모의 넓이는 왜 ‘×두 대각선 길이의 곱’ 인가요?

마름모도 다음 그림과 같이 임의의 직사각형을 이용해서 만들 수 있습니다.

즉, 마름모의 넓이는 직사각형의 절반이 되는데, 이때 직사각형의 가로와 세로의 길이는 각각 마름모의 두 대각선의 길이이므로 마름모의 넓이는 ‘×두 대각선 길이의 곱’이 됩니다.

또 다음 그림과 같이 4개의 직각삼각형 넓이의 합으로 구할 수도 있습니다.

즉, 직각삼각형 1개의 밑변의 길이는 , 높이는 이고, 같은 넓이의 직각삼각형이 4개가 있으므로 식으로 쓰면 입니다. 즉, 위와 똑같이 ‘×두 대각선 길이의 곱’이 됨을 알 수 있습니다.

사다리꼴의 넓이는 왜 ‘×(윗변＋아랫변)×높이’ 인가요?

임의의 사다리꼴은 다음과 같이 평행사변형을 잘라서 만들 수 있습니다.

평행사변형은 대변의 길이가 서로 같고 평행하므로, 위의 그림과 같이 잘랐을 때, 합동인 2개의 사다리꼴로 변형됩니다. 따라서 사다리꼴의 넓이는 평행사변형 넓이의 절반이 되며, 평행사변형의 밑변의 길이는 사다리꼴의 아랫변과 윗변의 합으로 표현할 수 있습니다. 따라서 사다리꼴의 넓이는 ‘×(윗변＋아랫변)×높이’가 됩니다.