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거꾸로 해도 이(리)효리

어느 연예인이 새롭게 문을 연 가게에 보낸 축하 화환에 적힌 글귀로 화제가 되었던 문장입니다. 이와 같이 거꾸로 읽어도 같은 문장을 회문^각주1) (回文, palindrome)이라고 합니다. ‘다시다’, ‘오시오’, ‘아 좋다 좋아’, ‘다시 합창 합시다’, ‘eye’, ‘madam’, ‘repaper’, ‘Was it a car or a cat I saw?’ ··· 등을 회문이라고 할 수 있어요. 마찬가지로 회문수는 2332, 12321, ···과 같이 좌우 대칭인 수를 말해요. 회문수를 만드는 방법을 살펴봅시다.

두 수를 더해서 만드는 경우

회문수는 어떤 수와 그 수를 거꾸로 쓴 수를 더해서 만들 수도 있어요. 예를 들어 217은 회문수가 아니며, 이 수를 거꾸로 쓰면 712가 되는데, 두 수를 더하면 217＋712＝929입니다. 929는 거꾸로 해도 929이므로 회문수입니다.

만약 한 번에 안 되면 이 과정을 반복하여 회문수를 만들 수 있어요. 49를 예로 들어 봅시다. 49는 회문수가 아니며 거꾸로 쓰면 94입니다. 이 두 수를 더하면 49＋94＝143입니다. 그런데 143은 회문수가 아니므로 한 번 더 과정을 밟아 봅시다. 143에 이 수를 거꾸로 한 341을 더하면, 143＋341＝484입니다. 484는 거꾸로 써도 484이므로, 회문수입니다. 1784도 같은 방법으로 회문수를 만들 수 있습니다.

이 과정을 여러 번 반복해야 하는 수도 있습니다. 89로 회문수를 만들기 위해서는 이러한 과정을 25번 반복해야 합니다. 그런데 컴퓨터로 천만 번 이상을 반복해도 회문수가 안 되는 수도 있습니다. 이러한 수 중에서 가장 작은 수는 196인데 아직까지 196을 회문수로 만드는 방법을 찾지 못하고 있습니다.

두 수를 곱해서 만드는 경우

이번에는 두 수를 곱해서 회문수를 만들어 봅시다.

12는 회문 숫자가 아니며, 12에 거꾸로 한 수인 21을 곱해 봅시다.

12×21＝252

252는 거꾸로 해도 252이므로 회문수입니다. 이번에는 102로 회문수를 만들어 봅시다. 102는 회문수가 아니며, 이 수를 거꾸로 한 수는 201입니다. 이 두 수를 곱하면 102×201＝20502.

20502는 거꾸로 해도 같은 수가 되므로 회문수입니다. 112도 같은 방법으로 회문수를 만들 수 있습니다. 112×211＝23632.

같은 수를 두 번 곱해서 만드는 경우

어떤 수에 거꾸로 한 수를 더하거나 곱하는 것이 아니라 자신을 두 번 곱해서 회문수를 만들 수 있습니다. 264는 회문수가 아닌데 이 수를 두 번 곱하면 264×264＝69696이고, 69696은 거꾸로 해도 같은 수이므로 회문수입니다. 2285도 마찬가지로 두 번 곱해서 회문수를 만들 수 있습니다.2285×2285＝5221225(회문수).

1로만 이루어진 수 중에서도 자신을 두 번 곱하여 회문수를 만들 수 있는 것이 있습니다.

1 × 1 ＝1(회문수)
11 × 11 ＝121(회문수)
111 × 111 ＝12321(회문수)
1111 × 1111 ＝1234321(회문수)
11111 × 11111 ＝123454321(회문수)
111111 × 111111 ＝12345654321(회문수)
1111111 × 1111111 ＝1234567654321(회문수)
11111111 × 11111111＝123456787654321(회문수)
111111111 × 111111111＝12345678987654321(회문수)

하지만 1이 9개를 넘으면 회문수가 만들어지지 않습니다.

1111111111 × 1111111111 ＝ 1234567900987654321
11111111111 × 11111111111 ＝ 123456790120987654321
111111111111 × 111111111111 ＝ 12345679012320987654321
1111111111111 × 1111111111111 ＝ 1234567901234320987654321