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시소를 탈 때 어느 한 쪽이 너무 가볍거나 무거우면, 시소가 한 쪽으로 치우치게 되어 재미가 없잖아요? 제 몸무게가 50kg인데 75kg인 아버지와 함께 시소를 타려고 합니다. 각자 중심으로부터 얼마나 떨어진 곳에 앉아야 균형을 이루나요?

무게가 다른 두 친구가 시소를 탈 때에는 시소의 중심으로부터 앉는 거리를 잘 선택해야 시소의 묘미를 제대로 느낄 수 있습니다. 이때 앉는 거리를 선택하는 것은 무게중심과 관련이 있습니다.

똑같은 무게의 구슬이 다음과 같이 평형^각주1) 을 이루고 있습니다. 거리가 똑같이 멀어져도 여전히 평형을 이룹니다.

위 그림과 같이 평형을 이루고 양쪽으로 나열되어 있는 구슬은 다음과 같이 지레의 중심에 모든 구슬의 무게가 모여 균형을 이루고 있다고 생각할 수 있습니다. 즉, 지레의 중심이 무게중심이 됩니다.

또한 지레의 중심에 무게가 6인 구슬이 하나 있는 것은 다음과 같이 무게가 1인 구슬 6개가 중심으로부터 균형을 이루고 늘어서 있는 것과 같습니다.

그렇다면 다음과 같이 무게가 2와 3으로 서로 다른 구슬 2개가 지레 위에 있다면 지레의 받침대를 어디에 놓아야 균형을 이룰까요?

두 구슬이 균형을 이룰 수 있게 받침대를 놓는 위치가 바로 두 구슬의 무게중심입니다. 그러면 지금부터 두 구슬의 무게중심의 위치를 알아봅시다.

무게가 2인 구슬은 다음 그림과 같이 무게가 0.5인 구슬 4개로 나누어서 늘어놓을 수 있습니다. 이때, 구슬 4개의 무게중심의 위치는 A이므로, A의 위치에 무게 2인 구슬이 있는 것과 같습니다. 마찬가지로 무게가 3인 구슬은 다음과 같이 무게가 0.5인 구슬 6개로 나누어서 늘어놓을 수 있으며, 이는 무게가 3인 구슬이 B의 위치에 있는 것과 같습니다.

즉, 무게가 2와 3인 두 개의 구슬의 무게중심을 찾는 것은 무게가 0.5인 10개의 구슬의 무게중심을 찾는 것과 같습니다. 따라서 무게중심은 구슬 10개의 중심이며, 무게중심에서 원래 구슬이 있는 자리까지의 거리를 보면 A의 위치까지는 3칸, B의 위치까지는 2칸입니다.

결국 무게중심은 두 무게를 공통 단위의 구슬로 바꾸어 일정한 간격으로 나열하였을 때, 그 중심에 위치하게 되며, 그 중심의 위치로부터 A와 B까지의 거리의 비는 두 구슬의 무게의 비와 반대로 형성되는 것을 볼 수 있습니다.

이런 관계가 항상 성립할까요?

이번에는 구슬의 무게가 각각 1과 2인 경우를 살펴보겠습니다.

두 구슬을 무게가 0.5인 구슬을 이용해서 위의 그림처럼 나열해 보았더니 무게중심은 구슬 6개의 중심에 위치하며, 무게중심에서 무게 1과 2인 두 구슬까지의 거리는 각각 2칸, 1칸으로 여기서도 구슬의 무게의 비와 무게중심에서 두 구슬까지의 거리의 비가 반대로 나타납니다.

그렇다면, 몸무게가 50kg인 아들과 75kg인 아버지가 함께 시소를 탈 때, 어디에 앉아야 균형을 이룰까요? 아들의 몸무게와 아버지의 몸무게의 비는 50:75, 즉 2:3이므로 무게중심으로부터 아들과 아버지의 거리의 비가 3:2일 때 평형이 됩니다. 즉, 아들이 중심에서 3만큼 떨어진 곳에 앉는다면 아버지는 시소의 중심에서 2만큼 떨어진 곳에 앉아야 시소가 균형을 이룰 수 있습니다.

이렇게 두 물체의 무게가 각각 x, y이고 무게중심에서 두 물체까지의 거리를 각각 a, b라고 할 때, x×a＝y×b이면 지레가 평형을 이루게 되는데 이것을 아르키메데스가 발견한 ‘지레의 법칙’이라고 합니다.

아주 먼 옛날, 우리나라에도 단위가 있었나요?

암행어사의 상징이 흔히 마패로 알려져 있지만, 놋쇠로 만든 자인 유척(鍮尺) 또한 암행어사의 중요한 소지품이었다. 조선시대에는 백성들이 세금을 지금처럼 돈으로만 내지 않고 곡식, 옷감, 각 지방의 특산물로 내기도 하였다. 탐욕스런 관리들은 엉터리 측정 기구를 사용하여 도량형(度量衡)을 속여서 불법으로 재산을 모았다. 유척은 암행어사가 관리들이 세금을 걷는 데 쓰는 길이나 무게가 국가 표준에 맞는지 알아보는 도구이다.

옛날부터 길이(度 · 도), 부피(量 · 량), 무게(衡 · 형)의 기준을 통일하여 공정하게 세금을 거두어야 백성들이 왕의 말에 잘 따르고, 그래야 왕권을 강화할 수 있다는 것을 잘 알았지요. 하물며 폭군 진시황이 남긴 최대 업적이 도량형을 통일하여 척관법(尺貫法)을 만들었다는 것일 정도이니 말이지요. 척관법은 자나 척(길이), 돈, 근, 관(무게), 되(부피), 평(면적)을 쓰는 단위 체계인데 우리나라에서도 삼국시대 이전부터 사용해 왔다. 현재는 미터법으로 통일하여 척관법의 사용이 법으로 금지되어 있다.