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학교에서 뿔의 부피를 구하는 식을 (밑넓이)×(높이)×이라고 배웠어요. 그 이유가 뿔의 부피는 같은 밑면과 높이를 가진 기둥 부피의 이기 때문이라는데 그걸 어떻게 알 수 있나요?

다음과 같이 합동인 3개의 사각뿔이 있습니다. 이 3개의 사각뿔을 모으면 오른쪽 그림과 같이 같은 크기의 밑면과 높이를 가진 1개의 사각기둥을 만들 수 있습니다.

위와 같은 활동을 통하여 밑면과 높이가 각각 같은 뿔과 기둥의 부피비가 1:3임을 직관적으로 알 수 있습니다. 그런데 이런 활동을 통해서 뿔의 부피가 기둥의 이라는 것은 확인할 수 있지만, ‘위와 같이 특별한 경우에만 그러지 않을까?’ 하는 의문이 들 것입니다.

그럼 다음 그림을 한번 보세요.

원기둥의 높이를 점점 작게 하면서, 여러 개 겹쳐 쌓아 원뿔 모양을 만들어 갑니다. 이때 쌓은 원기둥의 개수가 많을수록 그 모양은 매끄러운 원뿔에 점점 더 가까워집니다. 그림과 같이 높이가 같은 무수히 많은 원기둥들이 모여 원뿔의 모양을 이룬다고 가정하여 그 원기둥들의 부피의 합을 구해 가면서 원뿔의 부피를 예측할 수 있습니다.

원뿔의 밑면인 원의 반지름의 길이가 12이고 높이가 24일 때, 쌓아올린 원기둥의 개수에 따라 그 부피가 어떻게 변화하는지 살펴봅시다. 각 원기둥의 높이는 등분한 개수에 따라 결정되며, 각 원기둥의 반지름의 길이는 닮음비를 이용하여 구할 수 있습니다.

작은 원기둥들의 부피를 합하여 표를 만들면 다음과 같습니다.

위의 표에서 알 수 있듯이 높이를 여러 개로 등분하여 쌓아올린 원기둥의 개수가 많아질수록 오히려 원기둥들의 부피의 합은 점점 줄어들고 있음을 확인할 수 있습니다. 그렇다면, 이 값은 어디까지 줄어들까요? 또, 높이를 많이 등분하여 원뿔에 외접^각주1) 하는 원기둥의 개수를 계속 늘린다면 등분된 각 원기둥의 부피의 합이 원뿔의 부피보다 작아질 수 있을까요?

이번에는 원뿔에 내접^각주2) 하는 원기둥을 생각해 봅시다. 원뿔에 내접하는 원기둥들도 외접하는 원기둥들과 마찬가지로 쌓은 원기둥의 개수가 많아질수록 그 모양은 원뿔에 점점 더 가까워집니다.

내접하는 원기둥들의 부피의 합을 구해봅시다.

이번에는 높이를 여러 개로 등분하여 쌓아올린 원기둥의 개수가 많아질수록 원기둥의 부피의 합은 점점 커지고 있음을 확인할 수 있습니다. 그렇다면, 이 값은 어디까지 커질 수 있을까요? 또, 높이를 많이 등분하여 원뿔에 내접하는 원기둥의 개수를 계속 늘린다면 등분된 각 원기둥의 부피의 합이 과연 원뿔의 부피보다 커질 수 있을까요?

원뿔을 12등분하였을 때 내 · 외접하는 원기둥들의 부피를 ‘밑넓이×높이×’을 이용하여 구한 원뿔의 부피 1152π와 비교해 보면, 내접하는 원기둥들의 부피의 합 1012π보다는 크고 외접하는 원기둥들의 부피의 합 1300π보다는 작습니다. 그러나 이 두 값의 평균은 1156π로 실제 원뿔의 부피 1152π와 크게 차이가 나지 않습니다.

이때 실제 원뿔의 부피와 내 · 외접하는 원기둥들의 부피의 합에 차이가 나는 이유는 원기둥을 충분히 많이 쌓지 않았기 때문입니다. 원기둥을 충분히 많이 쌓아올린다면, 내접하는 원기둥들의 부피의 합은 점점 더 커지고, 외접하는 원기둥들의 부피의 합은 점점 더 작아져서 1152π라는 값에 아주 가까워지게 될 것이라고 예측할 수 있습니다.

만약 원뿔을 이루는 원기둥들의 수가 무한하다면, 내 · 외접하는 원기둥들의 부피의 합은 원뿔의 부피에 무한히 가까워지게 됩니다. 즉, 내 · 외접하는 원기둥들의 부피의 합에 대한 값의 차가 0이 되는 순간에 비로소 원뿔과 일치하게 되는 것입니다.

이제 앞에서 살펴본 것을 고등학교 과정에 따라 무한의 개념을 도입하면 다음과 같이 설명할 수 있습니다.

밑면인 원의 반지름의 길이가 r, 높이가 h인 원뿔의 부피를 구해 봅시다.

먼저 원뿔의 높이를 n등분하였을 때, 원뿔의 단면적을 아래쪽 밑면으로 하는 n개의 원기둥을 만들면 다음 그림과 같습니다.

이때 각 원기둥의 높이는 이므로 위의 그림에서

같은 방법으로 각 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 구하여 위부터 차례로 쓰면

입니다. 따라서 n개의 원기둥의 부피의 합을 V_n이라고 하면

입니다.

이때 n은 무한의 개념이며, 원뿔의 부피 V는 다음과 같은 식을 이용하여 계산할 수 있습니다. 이때 에서 n이 무한히 커지면, 은 결국 0이 되므로

입니다. 내접하는 원기둥들이 무한히 많이 있는 경우에도 위와 같은 방법으로 부피를 구할 수 있습니다.

따라서 밑면인 원의 반지름의 길이가 r, 높이가 h인 원기둥의 부피는 πr²h이므로 밑면이 합동이고 높이가 같은 원뿔과 원기둥의 부피의 비는 다음과 같습니다.