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분수로 나타낼 수 있는 유리수도 자연수처럼 하나하나 셀 수 있다는데 그게 사실인가요?

집합은 조건이 명확한 원소들의 모임입니다. ‘10보다 작은 자연수들의 모임’은 조건이 명확하기 때문에 집합이 될 수 있습니다. 유리수도 집합입니다. 유리수는 분수^각주1) 로 나타낼 수 있는 수들의 모임인데, 분수는 (이때 a, b는 정수^각주2) 이고 b≠0)꼴로 나타낼 수 있는 수이고, 자연수는 , , , ···과 같이 분수로 나타낼 수 있으므로 유리수라고 할 수 있습니다.

집합을 구성하는 요소 하나하나를 원소라고 합니다.

유리수의 집합도 무수히 많은 원소를 가지고 있고, 자연수의 집합도 무수히 많은 원소를 가지고 있습니다. 그러나 자연수는 유리수에 완전히 포함되는 유리수의 일부분이라 할 수 있습니다. 그런데 둘 다 무한히 많은 원소를 갖다 보니 아주 신기한 일이 벌어집니다. 바로 전체와 부분이 1대 1로 대응한다는 것입니다.

먼저, 자연수의 집합과 짝수의 집합으로 설명해 봅시다.

분명히 자연수인 짝수는 자연수 집합의 부분집합인데, 자연수와 짝수는 모두 원소가 무한히 많은 집합입니다. 이 두 집합을 다음과 같이 1대1로 대응시킬 수 있습니다.

자연수와 그 부분이 되는 짝수가 1대 1로 대응되면서 집합의 크기가 같게 됨을 볼 수 있습니다. 무한에서만 벌어지는 놀라운 일이지요. 마찬가지로 홀수, 3의 배수, 4의 배수 등 모든 배수도 자연수와 1대1로 대응시킬 수 있습니다.

일반적으로 1과 0 사이에 , , , , ··· 등 무수히 많은 분수가 존재하므로 유리수는 자연수보다 그 개수가 훨씬 많다고 생각할 수 있지만, 그러한 유리수조차도 자연수와 1대 1로 대응시킬 수 있습니다.

먼저 양의 유리수를 순서대로 나타내어 봅시다. 우선 양의 유리수를 빠짐없이 모두 나열할 수 있어야 합니다. 분모가 같고, 분자가 1씩 증가하는 분수를 써 봅시다.

위와 같은 방식으로 분수를 써 나가면 양의 유리수를 빠짐없이 나타낼 수 있습니다. 이제 이 모든 양의 유리수를 순서대로 나열할 수만 있다면 자연수와 일대일로 대응한다는 것을 보일 수 있습니다. 어떻게 이 많은 양의 유리수를 순서대로 나열할까? 화살표를 따라서 1, 2, 3, 4, 5, ···하고 번호를 붙이면 양의 유리수와 자연수가 일대일로 대응한다는 것을 볼 수 있습니다.

을 시작으로 화살표가 가리키는 순서대로 나열해 봅시다.

(단, , , , ··· 등과 같이 크기가 과 같은 분수는 건너뛰고 세면 됩니다.)

양의 유리수를 모두 나열했으면 음의 유리수와 0을 포함하여 유리수 전체를 모두 나열할 수 있습니다.

과 같이 0에서 시작하여 양의 유리수와 음의 유리수를 번갈아 가면서 차례대로 쓰면 유리수 전체를 나타낸 것입니다. 여기에 왼쪽부터 1, 2, 3, 4, 5···하고 번호를 붙이면 자연수와 일대일로 대응한다는 것을 알 수 있습니다.

유리수 집합은 자연수 집합과 일대일로 대응하므로 빠짐없이 하나하나 셀 수 있다는 것을 보았습니다. 수직선에 유리수를 나타내면 조밀하게 많아서 일일이 다 셀 수 없을 것 같지만 수직선에 띄엄띄엄 있는 자연수 집합과 마찬가지로 하나하나 셀 수 있습니다. 즉, 이렇게 더 커보이는 유리수 집합이 자연수 집합과 크기가 같아지는 것은 원소의 개수가 무한한 집합에서만 일어나는 일입니다