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어느 백화점이 사은 행사로 해외 여행을 할 수 있는 복권을 추첨합니다. 당첨자에게는 해외 여행 상품권을 주는데, 제비는 모두 5장밖에 없어요. 이 중 한 장만이 당첨권이면 제일 먼저 제비를 뽑아야 하나요? 아니면 제일 마지막으로 제비를 뽑아야 하나요? 마지막에 뽑는다면 당첨 가능성이 낮아지지 않나요? 그렇다면 제일 먼저 뽑는 것이 유리하겠지요?

ⓒ 북멘토 | CC BY-NC-ND

순서대로 뽑지 않고 5명이 동시에 제비를 뽑는다고 생각해 봅시다. 그러면 크게 다르지 않을 겁니다. 또는 제비를 뽑는 사람들이 눈을 가리고 순서대로 모두 뽑은 후 동시에 결과를 공개하는 방식이라면 확률이 꼭 같다는 데 동의하겠죠?

순서대로 뽑는다고 해서 자칫 달리 생각할 가능성이 있지만 이는 조건부확률^각주1) 의 개념을 생각하면 쉽게 접근할 수 있어요. 만일 여러분이 두 번째로 제비를 뽑는다고 가정해 봅시다. 맨 처음 뽑은 사람이 당첨되지 않았다면 여러분은 남은 네 개의 제비 중 하나의 당첨 제비를 고를 수 있는 만큼 확률이 이 되죠. 즉 20%에서 25%로 당첨 가능성이 높아지는 겁니다.

하지만 이는 맨 처음 뽑은 사람이 당첨되지 않았다는 점을 확인한 후에나 생기는 결론이죠. 맨 처음 뽑은 사람이 당첨 제비를 뽑았다면 여러분은 뽑을 기회조차 얻지 못하고 탈락해요. 즉 순서대로 제비를 뽑을 경우 앞에서 뽑은 결과가 어떠한지가 중요한 변수로 작용하는 거예요. 몇 번째로 뽑든 앞에서의 당첨 여부 결과를 고려해야 하고, 그러한 방식으로 생각할 때 모두 동일한 확률을 가지게 된다는 점을 다음과 같이 알 수 있어요,

실제로 뽑는 순서에 따라 당첨 확률에 변화가 있는지 살펴봅시다.

우선 다섯 명이 있습니다. 제일 먼저 A부터 순차적으로 제비를 뽑는다고 가정하면 A의 당첨 확률은 누가 보더라도 이 틀림없습니다.

그렇다면 B의 확률은 얼마나 되는가요? 이에 대해서는 ‘A가 당첨되었는지의 여부’를 한번 생각해 볼 필요가 있습니다. 만일 A가 당첨되었다면 다른 사람의 확률은 말할 것도 없이 모두 0이 됩니다. 그러나 A가 당첨에 실패했을 경우 자연히 의 확률이 나머지 네 사람의 몫이 됩니다. 따라서 이므로 이 되는 것이죠.

그러므로 B의 확률도 A와 동일한 이 됩니다.

그리고 C의 경우는 A와 B 두 사람 중 어느 한 사람이 당첨되었을 때는 확률이 0이 되지만, 다행히 A와 B가 모두 실패한다면 당첨확률은 으로 높아지므로 C의 확률은 나머지 세 장 중 하나가 됩니다. 따라서 이 되죠. 이와 같은 과정을 거치면 D, E도 이 되므로 결국 제일 먼저 뽑든 제일 마지막에 뽑든 확률은 변화가 없는 거죠.

그렇다면 5개 중 당첨 제비가 2개 이상인 경우는 어떨까요? 이것도 같은 상황이라는 것을 알겠지요? 5명이 동시에 5개의 제비를 가지고 동시에 결과를 공개하는 것과 동일한 상황이 되겠죠.

이제부터 제비뽑기할 때 몇 번째로 뽑을까 걱정하지 마세요.