0.999···＝1인가요?

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0.999···＝1인가요?

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분야	수와 연산
교과단원	중등 2학년 〈유리수와 근삿값〉, 고등 2학년 〈수열과 극한〉

교과서의 설명

우리는 교과서에서 다음과 같이 배웁니다.

x＝0.999···라 하고 양변에 10을 곱하면
10x＝9.999···이다.
두 식의 양변을 빼면 10x－x＝9.999···－0.999···＝9이고,
9x＝9이므로 x＝1이다.

그래서 위와 같은 풀이를 배우고 나서도 여전히 0.999 ···＝1이라는 사실은 이해하기 쉽지 않은 게 사실입니다. 때로는 뭔가 속는 듯한 느낌이 들기도 합니다. 그럼 이제 다음과 같이 생각해 봅시다.

0.999···와 1의 차이는?

만약 0.999···와 1이 다른 수라고 한다면, 두 수 사이에는 차이가 있어야 합니다. 그 차이를 d라고 하죠. 이때 소수 0.000···1이 소수점 아래 0이 충분히 많으면 d보다 더 작은 수가 되도록 할 수 있습니다. 이 수를 a＝0.000···1(소수점 아래 0이 n개)라고 하고, 1에서 a를 빼면 0.999···9(소수점 아래 9가 n＋1개)입니다. 이 수는 1에서 d보다 더 작은 수를 뺀 것이기 때문에 0.999···보다 더 커야 하는데, 0.999···는 소수점 아래 n＋1번째 이후에도 계속 9가 있기 때문에 이는 있을 수 없는 일입니다.

따라서 1과 0.999···의 차이는 없다고 말할 수 있습니다.

0.999···는 1을 순환소수로 표현하는 방법

다시 한 번 설명하자면 0.999···는 1을 표현하는 방법을 달리하여 쓴 것이라고 볼 수 있습니다. 우리가 수학에서 배우는 어떤 수를 표현하는 방법에는 여러 가지가 있을 수 있습니다. 가령 을 다음과 같이 다양한 형태의 분수로 표현할 수도 있고, 순환소수의 형태로 표현할 수도 있습니다.

그리고 우리가 배우는 실수는 모두 순환소수로 표현할 수 있습니다 예를 들면

와 같이 표현할 수 있는 것입니다. 이런 관점에서 0.999···는 1을 표현하는 다양한 방법 중 한 가지라고 생각할 수 있는 것입니다.

제논의 역설

이와 관련하여 그리스 시대의 철학자 제논이 제기했던 유명한 역설로 아킬레스와 거북의 역설, 이분법의 역설, 화살의 역설, 경기장의 역설 등이 있습니다. 그중 이분법의 역설에 대해 살펴보면 다음과 같습니다.

“어떤 물체가 A지점에서 B지점으로 이동하기 위해서는 그 중간 지점인 C를 통과해야 한다. 마찬가지로 A에서 C로 가려면, 그 중간 지점인 D를 통과해야 한다. 또 A에서 D로 가려면 그 중간 지점인 E를 통과해야 하고, ··· 이런 식의 생각을 계속하다 보면 A와 B 사이의 거리가 아무리 짧다 해도 A에서 B까지 가려면 무한히 많은 점을 통과해야 하기 때문에 물체는 이동할 수 없다.”

영원한 제자리 걸음?

그러나 우리는 일상생활을 통해 위의 주장이 현실과 맞지 않다는 것을 이미 잘 알고 있습니다. A에서 B까지 가기 위해서 무한히 많은 점을 통과해야 하지만 그래도 실제로 움직이는 거리는 유한하기 때문입니다.

이를 수학적인 식으로 표현하면 로 쓸 수 있는데 이와 같이 무한히 더해 가는 식을 무한급수^각주1) 라고 합니다. 이것은 고등학교 ‘수열의 극한’ 단원에서 배우게 되는 내용입니다. 그 계산법은 고등학교에서 배우기로 하고 우리는 다음과 같이 그림을 통해 위의 식을 이해해 봅시다. 다음 그림을 보면 무한히 더해 나가는 식의 값도 유한한 값이 될 수 있다는 것을 알 수 있습니다. 고대 그리스에서는 이와 같은 무한을 계산하는 법에 대한 이해가 부족했기 때문에 제논의 잘못된 주장에 대해 적절히 설명할 수 없었지만 지금은 무한급수의 계산을 통해 제논의 주장에서 오류를 지적할 수 있게 되었습니다.