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'국소적(局所的) 미분기하학'이라는 한 유형은 주로 한 점 근처로 제한된 정의역에서의 성질을 다룬다. 이것은 18세기 유럽의 수학자 레온하르트 오일러와 가스파르 몽주가 시작한 뒤 19세기 들어서 카를 프리드리히 가우스, 피에르 오시앙 보네, 장 프레데리크 프르네와 에우제니오 벨트라미 등에 의해 철저하게 연구되었다.

적분기하학 또는 대역적(大域的) 기하학은 주로 곡면의 유한한 부분이나 곡면 전체에 관심을 두며, 20세기에 빌헬름 블라슈케와 다른 수학자들이 이를 더욱더 발전시켰다. 이 전문분야에는 예를 들어 곡면, 특히 난형면(卵形面：달걀 모양의 곡면)에 대한 폐측지선(閉測地線) 정리들이 포함되어 있다.

미분기하학 기법 중에 간단한 예로는 평면곡선 위의 어떤 점에서 그 곡선에 접하는 접선을 찾는 것을 들 수 있다. 이 방법은 곡선 위의 한 점을 지나는 모든 직선들 가운데 그 점에서 곡선과 기울기가 같은 직선을 찾는 것과 같다. 해석기하학의 방법은 곡선 위의 한 점과 그 점에 인접한 점을 지나는 곡선과 직선에 대한 대수방정식을 얻게 해준다.

미적분학으로는 원하는 기울기를 갖는 직선을 구할 수 있다. 이와 비슷한 연산으로 곡선의 곡률과 호길이, 그리고 모든 차원의 공간에서 곡면의 유사한 성질에 대한 계산법을 들 수 있다.