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규칙

정언적 삼단논법은 2개의 정언 명제로 이루어진 전제로부터 역시 정언 명제인 하나의 결론을 이끌어내는 형태를 지닌다. 각 명제는 2개의 명사를 가지며, 3개의 명제에는 3개의 명사가 각각 2번씩 등장한다. 각 전제는 다른 전제와 공통되는 한 명사와 결론에 등장하는 다른 한 명사를 지녀야 한다. 이때 전제에 공통되는 명사를 매개명사, 결론의 술어로 기능하는 명사를 대(大)명사, 결론의 주어로 기능하는 명사를 소(小)명사, 대명사가 등장하는 전제를 대전제, 소명사가 등장하는 전제를 소전제라고 부른다. 예를 들면,

어떤 사람도 완전하지 않다 … E

모든 논리학자는 사람이다 … A

그러므로 어떤 논리학자도 완전하지 않다 … E

에서 '완전하다'가 대명사, '사람'이 매개 명사, '논리학자'가 소명사이다. 그리고 전제와 결론에 쓰인 명제의 유형이 삼단논법의 식(mood)을 결정한다. 위의 예는 대전제가 E, 소전제가 A, 결론이 E 이므로 그 식은 EAE 이다. 각 전제와 결론에 쓰일 수 있는 명제 유형은 4가지씩이므로 정언적 삼단논법에는 4³=64종류의 식이 있을 수 있다. 삼단논법의 형태를 구별하는 또 하나의 방법은 이른바 격(figure)에 따른 구별인데, 격은 각 명사의 위치에 따라 정해진다. 여기에는 다음 4가지가 있다(이때 M 은 매개명사, S 는 소명사, P는 대명사를 나타냄).

그러므로 격과 식을 함께 고려하면 삼단논법의 형태는 64×4=256가지가 된다. 이중 타당한 삼단논법의 형태를 가려내는 것이 삼단논법론 과제 중 하나이다.

정언적 삼단논법의 타당성을 결정하는 규칙들로는 다음 2가지가 있다. 첫째, 주연에 관한 규칙이다. ① 매개 명사는 전제들에서 적어도 한 번 주연되어야 한다. ② 어떤 명사도 전제에서 주연되지 않고는 결론에서 주연될 수 없다. 여기서 '주연'이란 한 명사가 일컫는 대상이 해당 명제에서 모두 언급됨을 의미하는 말이다. 즉 그 명사의 외연이 모두 포괄되어 언급될 때 그 명사는 주연되었다고 한다. 예를 들어 '모든 중학생은 소년이다'에서 '중학생'은 주연되지만 '소년'은 주연되지 않는다. 일반적으로 전칭 명제에서는 주어 명사가, 부정 명제에서 술어 명사가 주연된다. 그러므로 E(전칭 부정) 명제에서는 주어 명사와 술어 명사가 모두 주연되며 I(특칭 긍정) 명제에서는 둘 다 주연되지 않는다. 2번째 부류의 규칙은 명제의 질에 관한 것들이다. ① 적어도 한 전제는 긍정 명제이어야 한다. ② 만일 한 전제가 부정 명제이면 결론은 부정 명제이어야 한다. 또 결론이 부정 명제일 경우 전제 중 하나가 부정 명제이어야 한다. 이같은 규칙 4가지를 모두 만족시키는 삼단논법은 타당하며, 하나라도 만족시키지 못하는 삼단논법은 부당하다.

종류

정언적 삼단논법의 다른 형태들도 있다. 연쇄삼단논법(sorites)은 여러 개의 삼단논법이 앞 삼단논법의 결론을 자신의 전제로 삼아 묶여 있는 형태로, 마지막 줄의 주어와 맨 첫 줄의 술어를 결합한 결론을 갖는다. 예컨대 Aba·Acb·Adc……Eyχ⊃Eya와 같은 형태가 연쇄삼단논법이다. 또 생략삼단논법(enthymeme)에서는 전제 중 하나를 생략하며 심지어 결론을 생략하기도 한다. 물론 이러한 생략은 그 전제나 결론이 너무 분명해서 구태여 표현할 필요가 없다고 여겨질 때 행해진다. 아리스토텔레스가 〈분석론 전서 B 23 Analytica priora B 23〉에서 소개하고 있는 귀납 삼단논법도 특이한 종류의 삼단논법이다. 이 삼단논법은 모든 경우를 하나씩 완벽하게 검토함으로써 일반적인 법칙을 세우려는 논증 형태이다.

정언적 삼단논법 이외에도 여러 유형의 비정언적 삼단논법이 있다. 그중 중요한 것이 가언적 삼단논법, 선언적 삼단논법, 양도논법 등이다. 가언적 삼단논법에는 'p이면 q, q이면 r. 그러므로 p이면 r'와 같이 전제와 결론이 모두 가언 명제로 이루어진 형태와 'p이면 q, p. 그러므로 q' 또는 'p이면 q, ~q. 그러므로 ~p'와 같이 하나의 가언적 전제만이 사용되는 형태가 있다. 선언적 삼단논법에는 'p 또는 q, 그러나 ~p. 그러므로 q'와 같은 형태와 'p 또는 q, 그리고 p. 그러므로 ~q'와 같은 형태가 있는데, 뒤의 형태는 선언('또는')이 배타적인 의미(p과 q이 동시에 참인 경우는 배제)로 사용될 때에만 타당하다. 보다 복잡한 비정언적 삼단논법 형태는 보통 '딜레마'라고 부르는 양도논법이다. 여기에는 구성적 양도논법과 파괴적 양도논법이 있다. 전자는 'q이면 p, r이면 p, 그런데 q 또는 r. 그러므로 p'와 같은 형태를 지니며, 후자는 'p이면 q, p이면 r, 그런데 ~q 또는 ~r. 그러므로 ~p'와 같은 형태를 지닌다. 삼단논법에는 선언과 연언 등으로 결합된 복합 명사가 쓰일 수 있고 또 다른 명제들이 결합된 복합 명제가 사용될 수도 있다. 이러한 추론에 대한 논리적 분석은 20세기에 들어와 현대의 수학적 논리학자들이 발전시킨 방법과 계산에 의해 비로소 만족할 만한 수준에 이르렀다.

확장

아리스토텔레스의 삼단논법에서는 명제의 주어와 술어에 일반 명사만이 사용되었고 고유 명사는 일반 명사의 한 종류로 해석되었다. 또 ā, b, m과 같은 형태의 부정 명사 역시 사용되지 않았다. 그러나 오늘날은 삼단논법에 고유 명사를 도입하는 것이 기호 논리의 도움으로 보다 간편해졌으며, 부정 명사를 도입한 공리 체계도 개발되었다. 물론 이런 경우에는 위에서 서술한 삼단논법의 규칙이 수정되어야 한다.

한편 전통적 삼단논법론의 문제점 가운데 하나는 실제로 존재하지 않는 것을 지시하는 명사(empty term)는 명사변항의 자리를 차지할 수 없다는 것이었다. 예를 들어 20세기 중반에는 아직 누구도 중력파가 존재하는 지의 여부를 몰랐다. 그러나 '모든 중력파는 물리적 현상이다'라는 의미있는 명제에 전통적 삼단논법론을 적용할 경우, 여기에서 '어떤 중력파는 물리적 현상이다'라는 명제가 추론되고, 다시 여기서부터 환위에 의해 '어떤 물리적 현상은 중력파다'라는, 중력파의 존재를 주장하는 것으로 해석되는 명제가 도출된다. 이러한 문제점을 극복하기 위해, I명제와 O명제는 존재하는 대상을 전제하지만 A명제와 E명제는 그렇지 않고 단지 존재하는 대상을 가정하는 것으로 보아야 한다는 관점이 제시되었다. 이러한 관점을 '가정적 관점'이라고 하는데, 이 관점에 따르면 모순 대당관계 이외의 모든 대당관계는 성립하지 않는다. 그러나 이러한 관점은 각 명제 유형을 현대의 술어계산에 적합하게 해석해준다.

이렇게 부정 명사와 가정적 관점을 받아들이면 삼단논법은 '불대수'(Boolean algebra)의 특별한 경우가 된다. 불대수에서는 공집합을 '0'으로, 전체 집합을 '1'로, a집합의 여집합을 ā로 표시하며, a와 b의 교집합을 a∩b로, a와 b의 합집합을 a∪b로 나타내고, a와 b의 원소가 같을 때는 a=b로, 그렇지 않을 때는 a≠b로 표시한다. 이에 따라 삼단논법론의 명제는 다음과 같이 표현될 수 있다.

Aba=_Dfb∩ā=0

Eba=_Dfb∩a=0

Iba=_Dfb∩a≠0

Oba=_Dfb∩ā≠0

따라서 예컨대 Ama·Abm⊃Aba와 같은 삼단논법은 (m∩ā=0·b∩m=0)⊃ b∩ā=0으로 표시된다. 이렇게 불대수로 표시된 삼단논법의 타당성을 검사하는 데는 벤 다이어그램(Venn diagram)을 사용하는 것이 편리하다. 벤 다이어그램은 아래와 같이 서로 겹친 3개의 원으로 구성된다.

벤 다이어그램

그림2. 기본적인 벤 다이어그램

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