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기본특징

논리학의 가장 단순하고 기초적인 분야가 명제계산이다. 명제계산은 분석되지 않은 완전한 명제들과 그 명제들의 특정한 결합을 다룬다. 명제계산에 쓰이는 기호로는 첫째, 명제변항(p, q, r,…… 등의 문자로 표현됨), 둘째, 연산기호(~,·,∨,⊃,≡ 등), 셋째, 괄호가 있다. 명제변항은 명제들이 대입될 수 있는 자리를 나타낸다. 이때 모든 명제는 참 또는 거짓이라고 상정된다. 참과 거짓을 명제의 '진리치'라고 한다. 연산기호는 하나 또는 그 이상의 명제들(독립 변항들)로부터 새로운 명제를 형성하는 역할을 한다.

각 연산기호의 의미는 다음과 같다. ① 임의의 명제 p 에 대하여, p 가 참이면 ~p 는 거짓이고 p 가 거짓이면 ~p 는 참이다. 이렇게 해석된 '~'를 '부정기호', ~p 를 p 의 '부정'이라고 한다.

② 임의의 두 명제 p, q 에 대하여, p·q 는 p 와 q 가 둘 다 참일 때만 참이고 그밖의 경우에는 거짓이다. p·q 는 p 와 q 의 '연언', '·'는 '연언기호'라고 한다.

③ p∨q 는 p 와 q 가 모두 거짓일 때만 거짓이고 그밖의 경우에는 참이다. p∨q 는 p 와 q 의 '선언'이라고 하고 '∨'는 '선언기호'라고 한다.

④ p⊃q 는 p 가 참이고 q 가 거짓일 때만 거짓이고 그밖의 경우에는 모두 참이다. 기호 '⊃'는 ' 함언기호'라 하고 ⊃ 앞에 오는 명제나 명제변항을 '전건', ⊃ 뒤에 오는 것을 '후건'이라고 한다.

⑤ p≡q 는 p 와 q 가 같은 진리치를 가질 때 참이며 p 와 q 가 서로 다른 진리치를 가질 때는 거짓이다. '≡'를 '동치기호'라고 한다.

괄호는 연산의 순서와 관련하여 무리를 지어주는 역할을 한다. 예컨대 p·(q ∨r)와 (p·q)∨r 는 괄호 속의 연산을 먼저 하므로 서로 다른 식이다.

명제계산의 모든 연산기호는 다음과 같은 중요한 특징을 갖는다. 즉 독립 변항의 진리치가 주어졌을 때, 그 변항들과 연산기호로 구성된 명제의 진리치는 독립 변항들의 진리치에 따라 자동적으로 결정된다. 이러한 특징을 '진리함수적'이라고 하는데, 각 연산기호의 진리함수는 아래와 같이 표현된다. 여기서 '1'은 '참'을, '0'은 '거짓'을 나타내며, 수직선 왼쪽은 독립 변항 진리치의 가능한 모든 결합을 나타낸다. 각 연산 아래 표시된 0과 1로 이루어진 행렬을 해당 연산의 '진리표'라고 한다.

진리표는 일정한 형성규칙에 따라 만들어진 정식(well-formed formula)들이 타당한지를 검사하는 데도 쓰인다. 표준적 해석이 주어졌을 때 그 명제변항들 모두가 실제 명제로 대체된다면 명제계산의 정식은 하나의 명제가 된다. 이렇게 대체된 모든 경우가 참이라면 그 정식은 '타당'하다고 한다. 또 대체된 모든 경우가 거짓이라면 그 정식은 '충족불가능'하다고 하며, 참인 경우도 있고 거짓인 경우도 있다면 '우연적'이라고 한다. 타당한 정식(이를 恒眞이라고도 부름) 가운데 중요한 것들은 다음과 같다.

한편 명제계산의 공리체계는 특정한 정식들을 출발점으로 선택하고 이 정식들로부터 다른 정식들을 도출하는 규칙을 부여한 것이다. 이때 출발점이 되는 정식을 공리(axiom)라 하고 여기에서 도출되는 정식을 정리(theorem)라고 한다. 또 공리에서 정리를 도출하는 규칙을 형성규칙이라고 한다. 보통 공리적 기초는 어떠한 해석도 부과하지 않은 채 세워진다. 공리적 기초는 특정한 정식이 공리인지 아닌지를 밝힐 수 있어야 하며, 형성규칙은 공리의 적용이 올바른 것인지 아닌지를 보여줄 수 있어야 한다.

이제까지 알려진 명제계산 공리체계 중에서 가장 유명한 것은 A. N. 화이트헤드와 B. 러셀이 〈수학의 원리 Principia Mathematica〉(1910)에서 제시한 공리체계일 것이다. 한 공리체계에서 정식 α 가 정리이면 ~α 는 정리가 아닐 경우 그 공리체계는 '무모순적'이라고 하며, 공리체계에 정리가 아닌 어떤 정식을 덧붙이면 그 체계가 모순적이 될 때 그 공리체계를 '강한 의미에서 완전하다'라고 한다(모든 타당한 정식이 정리일 때 '약한 의미에서 완전하다'고 함). 또 공리나 형성규칙이 그것을 제외한 나머지의 공리 기초로부터 도출될 수 없을 때 그 공리나 형성 규칙을 '독립적'이라고 한다. 러셀과 화이트헤드가 제시한 공리 체계는 무모순적이고 강한 의미에서 완전하며 그의 공리와 형식규칙들은 독립적이다.