백과

집합론은 유한수 또는 무한수의 어떤 대상들을 그 원소로 갖는 집합들에 대한 논리적 연구이다.

보통 '……의 원소임'을 나타내는 기호로 '∈'이 쓰이고, ~(χ∈y)는 χy로 약칭한다. 특수한 한 집합을 특정화하는 방법으로 그 원소를 모두 열거하는 방법도 있고 그 집합의 원소가 되기 위한 조건을 제시하는 방법도 있다. 첫번째 방법은 유한한 집합에만 쓸 수 있고 불편하기도 하여 일반적으로 2번째 방법이 많이 쓰인다.

정확히 같은 원소를 갖는 두 집합은 동일한 집합으로 여기는데, 이때 그 집합을 특정화하는 조건이 다르더라도 상관없다. 이처럼 집합의 동일성을 조건의 동일성에서가 아니라 원소의 동일성에서 구하는 것을 '외연성의 원리'라고 한다. 또 '내포의 원리'(principle of comprehension)라는 것도 있는데, 이는 모든 지정가능한 조건에 대해 그 조건을 만죕는 대상들의 집합(공집합도 포함)이 있음을 가정하는 것을 뜻한다. 그러나 '자기 자신을 원소로 하지 않는 모든 집합들의 집합'이라는 러셀의 역설을 구성하는 조건에서 볼 수 있듯이, 이 원리는 별도의 해결책이 없는 상태에서는 항상 유지될 수 있는 것이 아니다.

형식적인 면에서 볼 때 집합론은 '원소임'(∈)을 나타내는 이항 술어정항만을 포함한다.

또한 집합론은 술어변항을 갖지 않는 저차 술어계산에 몇몇 특수한 공리들을 덧붙임으로써 도출할 수 있다. 때로 동일성 기호를 포함하는 저차 술어계산이 채용되기도 하는데, 이 경우는 원초 술어정항이 2개(∈와 =)가 된다. 부가되는 공리는 가변적이지만, 대개는 외연성의 원리와 어느 정도 제약된 형태의 내포의 원리나 또는 이 원리들을 도출할 수 있는 요소들을 포함한다. 집합론은 그 자체로서뿐만 아니라 수학의 기초로서도 중요하다(수학기초론). 자연수는 집합론의 용어를 통해서 적절하게 정의될 수 있기 때문이다.

더욱이 적합한 공리가 주어질 경우 자연수 산술의 표준적 공준을 집합론 내의 정리로서 도출할 수 있다. 한편 집합론에 의존하지 않고서 논리 체계의 한 형태로 산술을 전개하는 것도 가능하다. 저차 술어계산을 확장하여 직접 수로 해석될 수 있게 하는 것이다. 개체 정항으로는 0만을 도입하고 '……의 다음 수'로 해석되는 '1'를 통해 1은 0′로 2는 1′(또는 0″)로 정의한다.

여기에 필요한 몇몇 수 기호와 숫자를 값으로 갖는 개체변항, 그리고 적절한 공리들을 도입하면 산출의 체계를 세울 수 있다. 그러나 이런 체계는 모든 참된 산술적 명제를 자신의 정리로서 표현할 수 없다는 점에서 불완전하다는 사실이, 괴델의 '불완전성 정리'에 의해 입증되었다. 괴델의 불완전성 정리는 자연수의 산술에 적합한 어떠한 공리 체계도 불완전할 수밖에 없음을 보여주었다. 여기서 알 수 있는 것처럼 논리 체계들 사이에는 중요한 차이가 있다. 명제계산과 같이 결정가능하고('결정가능'하다는 것은 모든 정식의 타당성을 검증할 수 있는 일반적인 완전 절차가 존재한다는 뜻임) 완전히 공리화될 수 있는 체계도 있으며, 저차 술어계산과 같이 결정될 수는 없지만(2항 술어 이상이 도입되면 저차 술어계산은 결정가능하지 않음) 완전히 공리화될 수 있는 체계도 있고, 자연수 산술과 같이 결정가능하지도 않고 완전히 공리화될 수 없는 체계도 있다.

이러한 구별을 명확히 하고 특정한 체계가 이중 어느 부류에 속하는지를 논증할 수 있게 된 것은 현대 논리학이 이룩한 가장 주목할 만한 성과 가운데 하나이다.