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개요
'소크라테스는 현명하다', '7은 소수이다'와 같은 단순한 형태의 명제들은 다음의 2가지 구별가능한 부분을 포함한다.
첫째, 개체의 이름에 해당하거나 개체를 지시하는 표현과, 둘째, 개체가 지닌 성질을 나타내는 '술어'에 해당하는 표현이다. 만일 x, y, z, ……를(개체의 이름으로 대체할 수 있는) 개체변항으로 사용하고 φ , Ψ , χ, ……를 (술어로 대체할 수 있는) 술어변항으로 사용한다면, φχ라는 식은 앞서의 명제 형식을 표현한다고 할 수 있다.
또 '을은 갑의 아들이다'와 같이 두 개체와 두 개체 사이의 관계를 나타내는 술어가 있는 명제는 φχy 와 같은 형태로 표현할 수 있다.
일반적으로, 한 개의 술어변항과 몇몇의 개체변항으로 이루어진 식이 술어계산의 정식이다. 이러한 정식을 원자식(atomic formula)이라고 하며, 술어에 n 개의 개체가 따라붙는다면 그 술어를 n항 술어라고 부른다.
원자식은 진리함수적 연산기호를 통해 결합될 수 있다. 이렇게 결합된 명제들, 예컨대 φχ∨Ψy나 φχy⊃~Ψχ 같은 명제들의 타당성은 명제계산에서와 동일한 방식으로 검증된다.
보다 흥미로운 정식은 양화기호(quantifier)에 의한 정식이다. 양화기호에는 2가지 종류가 있다. 첫째는 '보편' 양화기호로, '(∀＿)'나 간단히 '(__)'로 쓰는데 이 괄호 안에는 변항이 들어가며 '모든 ＿에 대하여'로 읽는다.
둘째는 '존재' 양화기호인데, '(∃＿)'로 쓰고 '적어도 하나의 ＿에 대하여'나 '다음과 같은 ＿이 적어도 하나 있다'라고 읽는다. 그러므로 (∀χ)φχ는 '모든 χ 에 대하여 χ 는 φ이다'라는 뜻이며, (∃χ)φχ는 '적어도 하나의 χ에 대하여 χ는 φ이다' 또는 ' φ인 χ가 적어도 하나 있다'라는 뜻이다.
또 (∀χ)(φχ⊃Ψχ)는 '모든 χ에 대하여 φχ이면 Ψχ이다'라는 뜻이므로 결국 'φ인 것은 무엇이든지 Ψ'라는 의미이고, (∃χ)(φχ·Ψχ)는 'φ이고 Ψ인 χ가 적어도 하나 있다'라는 뜻이다.
나아가 (∀χ)(∃y)φχy 는 '모든 χ에 대하여 χ와 φ의 관계를 맺는 y가 적어도 하나 있다'라는 뜻이고 (∃χ)(∀y)φχy 는 '적어도 하나의 χ가 있어서 χ는 모든 y와 φ의 관계를 맺는다'라는 뜻이다. 만일 φχy 를 'χ는 y를 사랑한다'라는 뜻으로, χ나 y의 값을 사람으로 놓는다면 이 두 식들은 각각 순서대로 '모든 사람은 적어도 한 사람을 사랑한다'와 '모든 사람을 사랑하는 사람이 적어도 한 사람 있다'라는 의미를 갖게 된다.
한편 보편양화와 존재양화는 그중 하나를 기초로 하여 다른 것을 정의할 수 있다. 즉
(∃a)a=Df~(∀a)~a
또는
(∀a)a=Df~(∃a)~a
와 같다.
여기서 a 는 변항, a 는 정식을 나타내며, Df는 '정의함'(definition)을 뜻하는 약호이다.
저차 술어계산
양화기호 속에 개체변항들만 등장하는 술어계산을 '저차'(또는 일차) 술어계산이라고 한다.
양화기호·개체변항·술어변항 외에 술어계산에서 사용하는 기호의 의미는 명제계산에서와 같다. 양화기호에 의해 양화되는 변항을 '구속'되었다고 하고 그렇지 않은 변항을 자유변항이라고 하는데, 저차 술어계산에서 술어변항은 모두 자유변항이 된다. 저차 술어계산에서 사용하는 양화기호와 관련된 논리적 조작 규칙으로는 다음과 같은 것들이 있다.
① 양화기호 변형의 규칙. (∃χ)는 ~(∀χ)~와, (∀χ)는 ~(∃χ)~와 동치이므로, 이를 이용해 양화기호를 바꿀 수 있다. 예를들면 (∃χ)(∃y)a≡~(∀χ)(∀y)~a, (∀χ) (∀y)a≡~(∃χ)(∃y)~a 등이 성립한다.
② 연속되는 보편 양화기호나 존재 양화기호는 그 연속체 안에서 순서를 바꿀 수 있다. 즉 (∀χ)(∀y)a≡(∀y)(∀χ)a, (∃χ)(∃y)a≡(∃y)(∃χ)a이 성립한다.
이를 양화기호 재배열의 규칙이라고 한다.
③ 보편 양화기호를 존재 양화기호로 대치한 정식은 원래의 정식에 함언된다(원래의 정식보다 약함). 즉 (∀χ)(∀y)a⊃(∃χ)(∀y)a, (∃χ)(∀y)(∀z)a⊃(∃χ)(∀y)(∃z)a 가 성립한다.
④ 존재 양화기호가 보편 양화기호의 왼쪽에 있는 정식에서 존재 양화기호를 보편 양화기호의 오른편으로 이동하면 원래의 정식은 변형된 정식을 함언한다(원래의 정식이 더 강함). 즉 (∃χ)(∀y)a⊃(∀y)(∃χ)a, (∃χ)(∃y)(∀z)a⊃(∃y)(∀z)(∃χ)a 가 성립한다.
위의 예에서 보듯이 이 규칙들은 중간에 다른 항을 갖지 않는 연속되는 양화기호들을 지닌 정식들에만 적용된다.
저차 술어계산에는 1항 술어만을 사용하는 부분 체계도 있고, 여기에 더하여 개체변항 하나만을 구속된 형태로 사용하고 한 양화기호의 범위 내에는 다른 양화기호가 등장하지 않도록 하는 부분 체계도 있다.
반면에 표현하는 명제의 범위를 넓힌 체계도 있는데, 이런 경우 부가되는 것들은 개체정항(a, b, …… 등의 기호를 사용), 술어정항(Φ, Ψ, …… 등의 기호를 사용), 함수변항(f, g, …… 등의 기호을 사용) 또는 함수정항(F, G, …… 등의 기호를 사용) 등이다.
예컨대 개체변항의 값을 자연수로, Φ를 '소수이다'로, a를 2로 F를 '……과 ……의 합'으로 놓을 때 (∃χ)ΦF(χ, a)는 '2와의 합이 소수인 자연수가 적어도 하나 존재한다'라는 뜻이다.
또 이러한 저차 술어계산은 명제계산과 한 체계로 결합되기도 하는데, 이 경우 (p∨q)⊃(∀χ)φχ 나 (∃χ)[p⊃(∀y)φχy] 같은 표현이 정식으로 성립한다.
동일성 관계를 나타내는 기호 '='를 사용하는 체계도 특수한 술어계산이라고 할 수 있다.
동일성의 부정을 나타내는 기호는 '≠'이다. 이같은 기호들을 사용하면 'φ인 것이 꼭 하나 있다'와 같은 명제는 (∃χ)[φχ·(∀y)(φy⊃χ=y)]로 표현할 수 있다. 이 표현은 'φ인 χ이 적어도 하나 있고 모든 y에 대하여 y이 φ라면 그것은 χ이다'라는 뜻이다.
특정한 속성 φ가 단 하나의 대상에만 속한다는 것을 나타내기 위해 (
고차 술어계산
저차 술어계산은 양화기호에 구속되는 변항이 개체변항뿐인 계산 체계인데 반해, 고차 술어계산은 다른 변항들을 양화기호의 구속 범위 내에 포함한다.
특히 2차 술어계산에서는 개체변항과 술어변항둘 모두 양화된다. 이를테면 (∀φ)(∃χ)φχ 같은 정식이 성립한다.
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