백과

여기서 위상수학이란 찢거나 부수는 것이 아닌 굽힘·늘리기·압축 등의 변형에도 유지되는 물체의 성질을 연구하는 것을 뜻한다.

예를 들어 도넛은 위상적으로 커피잔과 동치이지만, 속이 꽉찬 입방체와는 동치가 아니다(속이 꽉찬 입방체를 변형시켜서 컵을 만들려면 적어도 가운데를 찢어서 구멍을 만들어야 하기 때문임).

이 분야에서 제기되는 문제는 보통 정성적(定性的)이다. 문제의 주제는 대역적인데, 이는 연구되는 현상이 공간의 어느 작은 일부분이 아니고 공간 전체에 결부된 것이라는 뜻이다. 이 분야는 비록 정성적이지만, 그 토대가 약함을 뜻하지는 않는다. 위상수학이 전반적으로 그러하듯이, 오히려 직관적인 많은 개념들이 분석·해명·분류를 통해 견고한 토대에 놓이게 된다.

예를 들어 교차하지 않는 폐곡선을 갖는 평면이 안과 밖을 하나씩 갖는다는 직관적인 개념은 명확할 뿐만 아니라 증명도 될 수 있다. 더욱이 3차원 공간에서 매듭이 있거나 그렇지 않은 폐곡선의 성질은 정량적 방법으로 정의·분석될 수 있다.

위상수학은 공간 및 사상(寫像), 즉 한 공간에서 다른 공간으로 전사(轉寫) 또는 사상할 수 있는 연속함수와 관계가 있다. 수학용어인 f：X→Y는 공간 X의 점들을 공간 Y로 사상하는 함수 f를 뜻한다.

공간과 사상이 어떤 특정한 방법으로 변할 때 변하지 않는 공간이나 사상에 따르는 불변량에 의해 주로 공간과 사상이 분류된다. 위상기하학의 또다른 중요한 개념은 호모토피(homotopy)이다. 만일 f₀와 f₁이 동일한 두 공간, 즉 X와 Y사이의 사상이고 사상 f₀에서 사상 f₁으로 연속적으로 섭동(攝動) 또는 변형될 수 있다면, 이 두 사상은 호모토픽하다.

더 엄밀하게는 중간사상족이 있어야 하고, 이 족을 호모토피라고 한다.

호모토피 이론은 임의의 사상이 그것과 호모토픽한 사상으로 대치되어도 변치 않는 성질을 연구한다. 이 이론은 접근할 수 있는 범위가 넓다. 실제로 얼핏 보기에 이 이론으로 접근이 어려운 많은 기하학적인 문제들이 궁극적으로는 호모토피 이론으로 귀착된다. 예를 들어 파이버속(fiber bundle)이라는 수학적 대상의 분류는 호모토피 이론으로 얻을 수 있고, 동경군(同境群)이라는 계산군의 분류도 마찬가지다.

이런 식의 접근이 성공하자 문제를 가능한 한 호모토피 용어로 바꾸는 것이 기하학적 위상수학의 관례로 되었다.

호모토피 이론에서 구체적인 결과를 얻기 위해서는 보통 계산될 수 있는 불변량이 필요하다. 이 필요에 의해 프랑스의 수학자 앙리 푸앵카레로부터 비롯된 호몰로지(homology)라는 한 분야가 생겼다. 호몰로지의 기본개념은 한 공간을 점·선분·삼각형, 그리고 기타 기하학적 성분으로 나누고, 이 성분들의 개수와 상호관계를 대수적인 방법으로 측정하는 것이다.

이런 공간에서 형성된 도형을 단체(單體 simplex)라고 한다. 가장 단순한 단체는 선분이며, 두 점을 1차원적으로 연결하여 얻는다. 여기에 다른 한 점을 추가로 2차원적으로 연결하면 2차원단체인 삼각형이 생기는데 이러한 방법으로 계속 확장해나간다. 처음에는 이런 단체복체(單體複體)가 호몰로지의 주된 문제였지만, 1930년대초에는 이 분야가 단체에서 모든 공간의 사상으로 확대되었다.

호몰로지의 근대적 접근은 공리적이며, 미국의 수학자 새뮤얼 아일렌버그와 노먼 E. 스틴로드의 선구적인 연구로 이루어졌다. 실제로 발생하는 모든 공간에 대한 호몰로지군을 계산할 수 있는 정리들이 이 공리로부터 연역될 수 있다. 군이란 이항결합연산에 닫혀 있는 수학적 집합이며, 항등원과 모든 원소에 대한 역원을 갖는다.

단체복체 W에서 공간 X로의 사상을 연구하기 위한 자연스런 방법은 이 문제를 두 부분으로 나누는 것이다.

우선 단체에서 X로 사상할 수 있는 방법을 조사해야 한다. 그리고 각 단체에서의 사상에 대한 정보를 모아 단체복체 W에서의 사상에 대한 정보를 얻는다. 이런 문제의 첫번째 부분은 호모토피군이라고 하는 수학적 구조에 의해 형식화되고, 2번째 부분은 소위 장애이론에 의해 형식화된다. 미국의 수학자 W. 후레비치의 초기 연구로 호모토피 이론이 연구되었지만, 아직도 많은 연구가 필요하다.

심지어 호모토피 이론 가운데 가장 기본적인 공간의 하나인 구면에 대한 호모토피군의 구조도 전부 알고 있지는 못하다. 몇몇 예들은 이해되었지만, 자신들의 재능을 이 문제로 돌린 가장 예리하다는 사람들도 모형(pattern)이나 일반식조차 만들어내지 못했다.

대수적 위상수학을 이해할 때 중요한 2가지 개념은 안정성과 파이버이다. 만일 대수적 위상수학의 한 현상이 임의의 차원에서 또는 충분히 큰 차원에서 똑같은 방법으로 발생한다면, 이 현상은 안정적이라고 한다. 파이버는 사상과정 f：X→Y를 통해 정의된다.

즉 Y의 점들에 대한 역사상 f^－1y를 파이버라 한다. 파이버는 X의 부분공간들의 연속적인 족으로 생각할 수 있으며, Y의 점들로 매개되거나 색인이 붙여질 수 있다. 예를 들어 띠의 양끝을 180°로 1번 비틀어 붙인 뫼비우스 띠는 원의 점들에 의해 매개변수가 붙여진 구간들의 족이다.

프랑스의 수학자 장 피에르 세르와 장 르레 이후 대수적 위상수학에 대한 최근 연구의 대부분은 스펙트럼 열(sequence：보통의 열과 닮은 대수적 구조이지만, 좀더 복잡하며 그것들로부터 군들이 계산될 수 있음)에 대한 것이다.

스펙트럼 열의 존재는 관심의 대상이 되는 군들을 계산하기 위한 산법이나 규칙을 주지는 않지만, 그러한 기본적인 접근은 스펙트럼 열이 없는 것보다 훨씬 성공적이다. 수학자들은 세르가 발견한 스펙트럼 열이 매우 유용하다고 느꼈지만, 분명 이 열만이 유일한 것은 아니었다. 특히 아일렌버그-무어 스펙트럼 열과 관련된 계산으로 로선버그-스틴 로드 스펙트럼 열이 나왔다. 스펙트럼 열 분야를 연구한 주요인물로는 미국의 수학자 조지 W. 화이트헤드, 영국의 수학자 얀 매켄지 제임스, 일본의 수학자 히로시 토다 등이 있다.

대수적 위상수학에서 특히 유익하다고 판명된 한 접근은 호모토피군의 소거법(消去法)이다.

원리적으로는 공간 X의 처음 몇몇 호모토피군을 알면 그 공간의 호몰로지를 연역할 수 있으나, 실제로는 이러한 과정이 반대로 적용된다. 즉 공간 X의 호몰로지가 주어지면 공간의 처음 몇몇 호모토피군을 계산할 수 있으며, 이 과정이 호모토피군의 소거법이다. 이 접근은 특정 군들의 계산 없이도 일반적인 정보를 얻기 위해 사용될 수 있다는 큰 장점이 있다.

이 방법으로 '세르의 C-이론'과 주어진 공간의 호모토피군이 유한하다는 중요한 결과가 나왔다. 또한 이 방법은 서로 다른 소수(素數)들이 호모토피 이론에서 독립적인 역할을 함을 보이는 데도 사용될 수 있다. 안정 호모토피 이론에서는 호모토피군의 소거법을 아주 면밀하게 다룰 수 있다. 따라서 사상들의 안정 호모토피류에 대한 군들은 호몰로지 자료로 시작하고 호몰로지 대수와 스펙트럼 열을 사용하여 계산할 수 있다.

스펙트럼 열을 이용하여 구면에 대한 안정 호모토피군이 계산되었으며, 뒤이어 미국의 수학자 존 W. 밀르너의 방법으로 동경군이 계산되었다.