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공통 끝점을 가진 두 경로에서 한 경로가 영역 밖으로 나가지 않고 끝점까지 포함해서 다른 한 경로로 연속하여 변형될 수 있다면 이 두 경로를 호모토프하다고 한다.

기점(base point)이라 하는 한 점에서 시작해서 그 점에서 끝나는 닫힌 경로가 특별한 관심사이다. 주어진 기하영역에서 서로 호모토프한 모든 경로를 호모토피류라 한다. 모든 그런 유들의 집합은 대수적 양인 군(群)을 형성하는데 이 구조는 영역에 따라 다르다. 구멍이 없는 영역의 모든 경로는 호모토프하다. 1개의 구멍이 있는 영역에서 구멍을 같은 횟수로 감는 모든 경로는 호모토프하다. 따라서 호모토피류들은 경로가 구멍 둘레를 감는 수를 정수에 대응시킴으로써 정수군과 대응시킬 수 있다.

한 경로를 다른 경로로 바꾸는 개념은 다음과 같이 형식적으로 정의할 수 있다.

먼저 하나의 경로는 0과 1 사이의 구간에서 주어진 영역으로 정의된 연속함수로 볼 수 있다. 즉 구간 위의 서로 가까운 점들은 경로 위에서도 서로 가까운 점들에 대응한다. 호모토피 함수 h(x, t)는 주어진 경로 f(x)와 g(x)를 연결짓는 2개의 변수 x와 t로 된 함수로서 h(x, 0)=f(x)이고 h(x, 1)= g(x)이며 t가 0에서 1로 변함에 따라 영역을 벗어나지 않으며 점차적으로 변한다. 예를 들면 h(x, t)=tf(x)＋(1－t)g(x)는 그림에서 두 경로의 호모토피 함수이다.

고차원 도형에 대한 호모토피군들을 정의할 수는 있으나 구조를 결정하기는 어렵기 때문에 대신 호몰로지군(homology group)을 사용한다. 호몰로지군이란 고려중인 원래 영역의 기본 특성을 보존하는 3각형들로 이루어진 영역들의 경계 관계에 근거를 두는 군이다.