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요약 유클리드 공간의 닫힘이나 극한개념을 거리에 기초하지 않고 집합들 사이의 관계에 기초하여 표현한 일반 유클리드 공간.
모든 위상공간은 ① 점들의 집합, ② 공리에 의해 열린집합이라 정의되는 부분집합들의 족(族), ③ 합집합과 교집합으로 되어 있다. ②의 열린집합족은 다음과 같이 정의한다.
임의의 유한 개의 열린집합족의 교집합은 열린집합이고 열린집합(무한 개도 가능함)들의 합집합도 마찬가지로 열린집합이다. 극한점의 개념은 위상수학에서 기본이 되는 중요한 개념이다. 점 P를 포함하는 모든 열린집합이 S의 점(s)을 포함할 때(P외의 점들은 S 안에 있도록 해야 함) 점 P는 집합 S의 극한점이다.
극한점 개념은 위상수학의 기본개념으로 그 자체로 쿠라토프스키 닫힘공리로 알려진 규칙에 따라 각 집합의 극한점들을 지정하여 위상공간을 공리적으로 정의하는 데 사용될 수도 있다. 모든 사물의 집합은 다양한 방법으로 위상공간이 될 수 있으나 그 개념의 유용성은 극한점들이 서로 구분되는 방법에 좌우한다. 연구되는 대부분의 위상공간은 하우스도르프 성질(Hausdorff property)을 갖는다. 그것은 임의의 두 점이 서로 겹치지 않는 열린집합 안에 포함될 수 있는 성질을 말한다. 이 성질은 점들의 수열이 1개 이상의 극한점을 가질 수 없도록 만들어준다.
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