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이 개념은 기하영역의 위상(topology)과 관련한 대수구조에 근거를 둔다.

주어진 영역을 복체(complex)라고 불리는 질적으로 동등한 영역에 결부시킬 수 있다. 복체는 3각형들로 이루어진 도형으로서 각 3각형들은 꼭지점에서만 만나거나 한변을 공통으로 하여 만난다. 점·선·3각형들은 각각 0차원·1차원·2차원인 개체인데, 각각 0-세포(cell), 1-세포, 2-세포라고 하고 E⁰, E¹, E²로 쓴다. 같은 차원의 세포들을 구별하기 위해서는 아래 첨자를 단다. 경계를 나타내는 연산자 ∂는 주어진 선의 끝점, 주어진 3각형의 경계변, 주어진 4면체의 경계 3각형을 표시하는 방법이다(방정식1·2 참고). 항들이 n-세포(n=0, 1, 2, ……)인 다항식을 n-사슬(chain)이라고 한다. 경계연산자는 단일항뿐만 아니라 다항식에도 적용한 결과로 된 각 항의 경계세포들의 합은 모듈로-2로 계산한다. 즉 두 동일한 세포의 합은 0으로 둔다(방정식3 참고). 3각형의 세 변 모두의 끝점을 합했을 때처럼 경계 사슬의 합이 0이 될 때 원래의 사슬을 사이클(cycle)이라고 한다. 사이클의 차원을 표시하기 위해 앞에다 숫자를 쓴다. 그러나 모든 사이클이 경계는 아니다. 예를 들면 3각구멍의 세 변들로 된 항들의 사이클(1의 그림)은 어떤 영역의 경계가 아니다(즉 어떠한 2-사슬의 경계도 이런 사이클이 되지는 못함). 2개의 1사이클 Z₁과 Z₂의 합 Z₁＋Z₂가 어떤 2-사슬의 경계가 되면 Z₁과 Z₂는 호몰로지하다고 한다. 서로 호몰로지한 모든 사이클류를 호몰로지류라고 한다. n차원인 모든 류의 집합을 해당하는 기하영역에 대한 n차 호몰로지군(群)이라고 한다. 대수위상수학에서는 이 군의 성질과 이 군이 기하영역에 따라 어떻게 달라지는가를 연구한다. A. L. 비에토리스(1927)와 C. E. 체흐(1932)는 호몰로지군 이론을 유클리드 도형으로부터 임의의 위상공간으로 확대했다.