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선택의 순간

아침에 눈을 뜨면 우리는 선택을 하기 시작해요. 아침을 먹을지 말지, 어떤 옷을 입고 어떤 신발을 신을지, 또 등굣길에 친구를 기다려서 같이 갈지, 먼저 갈지 등등 끊임없이 선택을 하지요.

이러한 선택의 문제를 게임으로 했던 ‘레츠 메이크 어 딜(Let’s make a deal)’이라는 미국의 TV 쇼가 있었어요. 다음과 같은 선택의 순간에 여러분은 어떤 선택을 하겠어요? 어떤 선택을 하느냐에 따라 당첨이 바뀌어 꽝이 될 수도 있고, 반대로 꽝을 당첨으로 바꿀 수도 있어요.

우리가 할 수 있는 선택은 2가지, ‘바꾼다’와 ‘바꾸지 않는다’예요. 어떤 것이 확률적으로 더 유리한지 수학적으로 생각해 볼까요?

바꾸는 것이 유리할까?

3개의 문 중에 한 개를 선택할 확률은 이에요. 그러므로 당첨될 확률은 이 되지요.

게임 참가자가 ①번 문을 선택하였다고 가정해요. 그럼 참가자가 당첨될 확률은 이에요. 여기에서 어디에 상품이 있는지 알고 있는 진행자가 상품이 있지 않은 문(③번)을 한 개 열어 보여 주지요. 그러면 ③번을 열어 봄으로서 사라진 당첨 확률 이 ②번 문에 더해지게 돼요. 따라서 ①번 문의 당첨확률은 이 되지만, ②번 문의 당첨확률은가 되는 것이지요.

여러분 생각에는 모두 이라는 확률로 변함이 없을 것 같다고요? 하지만 여기에서 중요한 사실은 사회자가 자동차가 어디 있는지 알고 있다는 사실이에요. 사회자는 답을 알고 있기 때문에 상품이 없는 문(③번)을 연 거예요. 그렇게 되면 상대적으로 ②번 문에 상품이 있을 가능성이 더 높다는 것을 인정하시나요?

하지만 미국에서 228명에게 질문하였더니 대부분의 사람들은 최초의 선택을 바꾸지 않는다고 했어요. 어차피 당첨은 운에 달린 것이라고 믿기 때문이었어요. 우리는 수학적 확률을 배웠으니 이러한 선택의 문제가 있으면 선택을 바꾸는 것이 당연하겠지요?

이 문제는 TV게임 쇼 진행자의 이름을 따서 ‘몬티홀 문제’라고 불리는 유명한 수학 문제예요. 이 문제는 영화 ‘21’에서도 등장하는데 영화를 보면서 내가 알고 있는 수학적 사실들이 나오는 것을 확인하는 것도 즐거운 경험이 될 수 있겠네요.