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낮은 압력에서 가스 방전에 의해 방출된 빛을 분광판에서 분석할 때 많은 수의 선들이 발견된다.

이 선들의 진동수는 소수점 아래 6째 자리까지 정확히 잴 수 있다. 분광판의 선형틈새에 선명히 새겨진 상으로 나타나는 모습 때문에 이것은 선으로 불린다. 특별한 원소의 이온화 과정에서 방출되거나 흡수된 선들의 집합을 스펙트럼이라 한다. 각 원자 이온의 스펙트럼에 수천 개의 선이 있는 것도 있으며, 다른 원소들은 정도에서 많은 차이가 나는 여러 복잡한 스펙트럼을 내기도 한다.

가장 간단한 경우는 수소나 알칼리 원소에서 방출되는 것이다.

원자의 스펙트럼에 대한 실험적 연구는 1860년 무렵 시작되었는데, 1880년대에 관찰된 진동수 사이에 수치적인 규칙성이 있음이 알려졌다. 보어는 1913년 처음으로 이 현상을 성공적으로 설명했다. 그후의 많은 선들과 그 선들의 상대적인 세기에 대한 연구는 지금까지 원자구조에 대한 지식에 기여하고 양자역학의 발전을 인도한 가장 풍부한 관찰자료임이 판명되었다.

보어는 아인슈타인의 광자에 대한 아이디어를 이용했다. 그는 원자가 특정한 양자화된 에너지준위(W₁, W₂, W₃,……)에서만 존재할 수 있다고 가정했다. 그리고 높은 처음 준위(W_i)에서 낮은 나중 준위(W_f)로 떨어질 때 그 에너지 차를 갖는 광자가 방출된다고 가정했다.

다시 말해

hν=hcλ^－1=W_i－W_f

이다.

흡수선은 이와 반대의 경우에 일어난다. 이런 생각은 원자뿐 아니라 분자나 핵의 스펙트럼 연구 등 뒤따른 발전과정에 그 기초가 되었다. 보어는 또한 수소에 대한 모형을 만들었다. 그는 가정으로 수소원자의 선스펙트럼을 설명하기 위해 필요한 이산된 에너지준위를 얻기 위해 전자궤도에 양자화 공식을 사용했다. 그는 전자의 각운동량(L)은 h/2π의 정수(k)배라는 공식을 제안했다. 다시 말해

L=mνr=k(h/2π), k=1,2,3,……

이다.

타원궤도를 생각할 때의 각운동량은 약간 복잡하지만 역시 위와 같다고 가정한다. 이 경우 전자는 양성자와의 거리가 달라지면서 움직이므로 다른 공식이 요구된다. 이 공식은 주양자수로 불리는 정수 n을 도입한다. k는 방위양자수라 한다. 일반적으로 양자준위를 나타내는 정수(때때로 홀수/2)를 양자수라 한다.

보어의 이론은 수소의 전자전이에 관한 스펙트럼 분석에 중요하다.

수소스펙트럼의 특징은 1885년 스위스의 요한 야코프 발머가 발견한 경험적 공식에서 나타난다.

여기서 R는 리드베리 상수이다.

발머 계열은 높은 상태에서 n=2 상태로 떨어질 때 나온다. n=1 상태로 떨어지는 경우는 시어도어 리만에 의해 발견되었는 데, 이것은 보어 이론과 잘 맞는다. 보어의 양자화공식은 드브로이파동으로 다른 방식으로 표시될 수 있다. k번째 궤도에 대해, mν_kr_k=k(h/2π) 관계식을 2πr_k=k(h/mν_k), k=1,2,3,……로 쓰면, 궤도의 원주(2 πr)는 드브로이파장(h/mν_k)의 정수(k)배임을 알 수 있다.

이 형태의 공식은 악기에서 정수를 포함하는 관계식 종류에 많은 암시를 준다. 바이올린에서 파가 양쪽 끝에서 반사되며 정상파를 형성하는데, 이 두 파는 파장의 반값의 정수배가 바이올린의 선의 길이와 같게 되는 진동수를 갖는다. 다시 말해

L=m(λm/2), m=1,2,3,……

이다.

진동하는 드럼의 진동방식을 기술하는 것은 더욱 복잡한 분석이 요구된다. 그러나 이 경우도 또한 보어 이론에서의 양자수와 같이 정수에 의해 분간되는 정해진 진동형태가 있다.