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1926년 슈뢰딩거는 드브로이파의 아이디어를 이러한 음향장치에 대한 유추로 크게 확장시켰다.

슈뢰딩거는 운동하는 입자의 드브로이파가 시간과 공간에 따라 변하는 파의 진폭 Ψ(x, y, z, t)이 존재한다는 가정을 했다. 그의 일은 19세기에 이루어졌던 파동운동에 관한 수학적인 작업과 같이 Ψ에 대한 편미분방정식을 유추하는 것이었다. 이 과정은 일찍이 광학의 발전에서 있었던 것과 유사한 것이었다. 빛은 처음에 기하광학에 의해 주어진 경로를 지나는 것으로 여겨졌으나 파동이론은 간섭과 회절의 영향을 받는 빛의 세기의 실제적 분포를 좀 더 정확히 기술하도록 수정되었다.

슈뢰딩거는 여기서도 뉴턴의 방정식이 주는 운동은 입자의 실제 운동에 대한 근사치라고 생각했다. 그당시까지 대부분의 파동이론은 파장의 변화가 없는 균질한 매질의 경우에 제한되어 있었다. 입자가 어떤 역장(力場)에서 운동할 때 운동량은 계속적으로 변하며, 드브로이파장도 위치에 따라 달라진다. 그러므로 수소나 다른 것들의 파동의 역할에 관한 문제와 관련된 파동의 전파형태는 수학적으로 훨씬 더 복잡하다. 입자의 전체에너지(W)는 운동에너지(p²/2m, p는 운동량)와 위치에너지(V)의 합으로 주어진다.

다시 말해

p²/2m＋V(x, y, z)=W

이다.

운동에너지는 양의 값이므로 입자의 운동은 V가 전체에너지 W보다 작은 공간지역에 한정되어 있다. 슈뢰딩거는 이 관계식이 운동량의 값을 아는 데 이용될 수 있으며, 그것은 곧 모든 공간에서 입자의 드브로이파장 λ=h/p를 결정할 수 있다고 생각했다. 그는 고전음향학에서 알려진 파의 진폭에 관한 방정식에서 위치에 따라 변하는 파장에 대해 이 관계식을 사용했다. 그결과 다음과 같은 슈뢰딩거 방정식이 만들어졌다.

이 방정식의 성질은 양자역학에 관한 책에 잘 설명되어 있다.

여기서는 일정한 경우에서 이 방정식은 전체에너지 W가 어떤 이산된 값을 가질 때에만 해를 갖는다고 말하는 것으로 충분하다. 이런 경우는 V가 W보다 작은 공간의 영역에 한정되어 파가 어떤 한정된 영역에 제한되어 있을 때 나타난다. 진폭 또는 파동함수라 불리는 Ψ에 대한 해의 일반적인 성질은 W가 V보다 더 큰 영역에서는 진동하고 그밖의 영역에서는 빨리 감쇠한다는 것이다.

슈뢰딩거는 이 새로운 절차가 존재할 수 있는 에너지준위를 결정하며, 이 에너지를 지닌 입자의 파동함수 Ψ가 입자의 궤도운동에 대한 새로운 파동역학적 기술(記述)이라고 가정했다. 이러한 공식은 고전역학적 궤도에 대한 보어의 양자화 공식을 대체한다. 보어의 고전적 궤도 양자화는 좀더 정확한 파동역학의 방법을 위한 역사적인 디딤돌로 간주되고 있다.

수소원자에서 위치에너지 V(r)는 핵과 전자의 거리 r의 함수이다.

다시 말해

V(r)=－Ze²/r

이다.

이것에 대한 슈뢰딩거방정식의 해는 보어에 의해 얻어진 에너지(W)값과 같으며, 그 해들의 분류를 위해 3개의 양자수(n, l, m)가 필요하다. n은 앞에서 본 전체 양자수이며, l은 h/2π의 단위로 잰 각운동량이며, m은 각운동량의 z성분이다. 전자의 방향을 나타내기 위해 2개의 각도(θ, φ)가 필요하며, 파동함수는 거리에 대한 함수 P_nl(r)/r와 각도에 대한 함수 Y _lm(θ, φ)의 곱으로 표시된다.

처음에 슈뢰딩거는 전자가 실제로 공간에 퍼져 있으며, Ψ²이 그 Ψ가 계산된 곳에서 전체에 대한 비의 밀도를 나타낸다고 생각했다. 이 생각은 곧 틀린 것으로 판명되었으며, Ψ²은 단위부피 안에서 전자를 발견할 수 있는 확률이라는 막스 보른 해석으로 대체되었다(보른 근사법). 이런 확률 해석 때문에 Ψ는 종종 확률진폭으로 불린다.

Ψ는 θ와 φ에 따라 다르므로 l=0인 경우에만 전자의 위치가 모든 방향으로 일정한 확률로 분포된다. 다른 l값에 대해서 확률형태는 고리형태들을 가지며, 이경우 원자는 간단한 구(球) 모습이 아니다.

1925년에 행해진 원자 분광선의 섬세한 구조에 대한 연구로, 전자는 그 운동을 기술하기 위해 또다른 좌표를 필요로 하는 것으로 밝혀졌다. 이것은 스핀(spin)이라 불리며, 공간에 어떠한 방향과도 같거나 반대방향을 갖는 축을 따라 1/2(h/2π)의 각운동량을 갖고 도는 것으로 그려볼 수 있다.

이 발견은 네덜란드의 물리학자 게오르게 윌렌베크와 사무엘 A. 호우트스미트에 의해 이루어졌는데, 많은 물리학자에 의한 미세 구조의 연구에 대한 길고 혼동된 기간의 축적의 결과였다. 스핀의 도입은 제4의 양자수를 필요로 하며, 그 값은 ±1/2의 값으로 제한되어 있다.

N개의 전자를 갖는 원자에 있어 Ψ는 3N개의 위치좌표와 N개의 스핀 좌표를 필요로 하며, 또한 위치에너지 V는 3N의 위치좌표의 함수이다.

이 경우 파동함수는 정확히 풀기에는 너무 복잡해서 대부분의 문제는 어떻게 그러한 복잡한 파동방정식의 근사해를 구하는 방법을 찾느냐 하는 것과 관련되어 있다. 이 방법을 일반적으로 섭동론이라 하는데, 먼저 복잡한 문제를 정확하게 풀 수 있는 간단한 문제로 바꾸는 방법을 찾는 것이다. 이 문제의 해를 이용하여 실제 파동함수의 에너지준위와의 차이를 정량적으로 예측하는 것이다. 대부분의 문제는 정확히 풀기 어려우므로 이 방법으로 많은 결과를 얻게 된다.