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요약 평면상의 한 점에서 일정한 거리에 있는 평면상의 점으로 이루어지는 곡선.
이 곡선을 그 평면상에서 중심을 돌려 회전시키면, 그것이 새롭게 점유하는 장소는 처음의 위치와 같다. 이 성질이 '둥글다'라는 원의 본질이며, 이것에 의해 원은 다른 평면 곡선과 구별된다. 원을 평면상에 그릴 때는 컴퍼스를 사용하여 중심에서 일정한 거리의 점을 이어가면 된다.
원이 기본적으로 중요한 곡선이 되는 이유 가운데 하나는 작도가 간단하다는 점이다. 이 곡선의 길이를 원주라고 하는데, 원주는 원 그 자체를 나타내는 용어로 쓰이기도 한다. 이 경우에 '원'은 곡선으로 둘러싸인 평면상의 부분을 가리킨다. 그림1에서 OP와 OQ같이 중심과 원주상의 한 점을 연결하는 직선을 반지름이라 한다.
원의 정의에서 알 수 있듯이 원주상의 각 점에 이르는 반지름의 길이는 모두 같다. 중심을 지나 원주상에 끝점을 가지는 선분, 예를 들어 EOH는 지름이라 한다. ABC와 같이 원주상의 임의의 두 점을 연결하는 직선을 현이라 한다. 최대의 현은 지름이다.
또 원주상의 두 점 사이에 있는 부분, 예를 들어 ADC는 호라고 한다. 양선단을 공유하는 현과 호에 의해 만들어진 도형 ADCB는 활 모양이다. 원에 있어서 부채꼴은 2개의 반지름과 그것들의 끝점을 연결한 호에 의해 형성되는 도형이다.
기하학적 특질
원의 성질의 대부분은 이 곡선의 대칭성으로부터 직접적으로 귀결된다. 예를 들어 같은 원의 2개의 현이 같으면 그에 대응하는 호도 서로 같다.
그림1. 원과 각부 명칭
반지름(OP 또는 OQ), 지름(EOH), 현(ABC), 호(ADC), 원 모양(ADCB), 부채꼴(ODC), 부채꼴의 각(DOC)
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이 종류의 유용한 성질의 하나는 '모든 현은 중심에서 그어진 수직선에 의해 2등분된다'는 것이다. 이 성질에 의해 주어진 원의 중심을 찾아낼 수 있으며 또 3점이 주어진다면 이를 이용해 원을 그릴 수 있다. 즉 그림1의 세점 H, P, Q를 지나는 원을 그리려면, 선분 HP, PQ에 각각 수직이등분선 LO, RO를 긋고 이들의 교점 O를 중심으로 하면 된다.
또 하나의 성질은 앞에서 설명한 현에 관한 성질보다 명확한 것은 아니지만, '같은 활 모양 안의 각(원주각)은 같다'는 것이다. 예를 들어 그림1에 있어서 A와 E를 연결하는 활 모양을 그리면, 그 내부에 있는 원주각 ADE와 ACE는 서로 같다. 특히 반원 안의 각은 모두 직각이다. 원과 직선이 주어졌을 때, 원의 중심에서 직선까지의 최단거리가 반지름보다 짧으면 원과 직선은 두 점에서 교차하고 최단거리가 반지름보다 크면 결코 교차하지 않는 것을 쉽게 알 수 있다.
중심에서의 거리가 반지름과 같을 때, 예를 들면 SPT와 같을 때 직선은 원과 단 하나의 공통점을 가지는데 이것을 직선이 원에 접한다고 하며, 이 직선을 원의 접선이라 한다. 각 OPT는 직각이다. P에 있어서 접선은 P를 지나는 현 PQ에서 다른 점 Q를 다른 점 P에 접근시킨 극한 상태이다.
방정식
그림2와 같이 직교하는 좌표축 OX 및 OY를 그린다. 임의의 점 P에서 OX에 수직선 PN을 긋는다. ON과 NP의 길이를 각각 x, y로 표시한다. 2개의 수 x 및 y를 P의 좌표라 한다.
그림2. 원의 방정식의 결정
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P의 위치는 좌표에 의해 정해지므로 점 P를 (x, y)로 나타낼 수 있다. C를 정점 (h, k)로 할 때 CP=r라면, P는 중심이 C이고 반지름이 r인 원의 원주상에 있다. CP2=r2 이므로 CL을 NP의 수선으로 하면 CL2＋LP2=r2이다.
따라서 (x－h)2+(y－k)2=r2이다. 이것이 '원의 방정식'이다. 동점 P는 그 좌표가 방정식을 만족시킬 때, 동시에 그때에 한해 이 원주상에 있다.
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