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스칼라 장의 그래디언트(gradient)

점 P와 그 주변의 점 P'에서 각각의 스칼라 점함수 u(P)와 u(P')가 있고 P에서 P'로의 벡터를 △r라 할 때,

는 △r의 방향으로의 u(P)의 평균공간변화율을 나타낸다.

|△r| → 0일 때 위의 극한이 존재하면, 이 비의 극한은 △r의 방향으로의 u(P)의 공간변화율을 나타낸다. △r의 방향으로의 공간변화율이 최대인 벡터를 υ(P)의 그래디언트라 하고, grad u 또는 △u로 쓴다.

데카르트 좌표계에서는

이다.

▽u가 존재하는 스칼라 장의 각 점은 벡터 장과 연관 지을 수 있다. u(P)가 온도인 경우 ▽u는 열흐름 벡터의 방향을 나타낸다.

벡터 장의 다이버전스(divergence)

중요한 장인 스칼라 장과 벡터 장은 연속미분 가능한 벡터 점함수 υ(P) 와 연관될 수 있다.

υ(P)는 점 P를 포함하는 영역 τ안에서 정의되고 σ는 τ의 표면이라고 하자. σ에 수직이고 밖으로 향하는 단위 벡터 n 방향의 υ(P) (구체적으로 τ 안에서 움직이는 유체입자의 속도 v를 나타낸다고 생각할 수 있음)의 성분은 υ·n이다.

σ를 통해 방출되는 유체의 양은 ∫υ·ndσ이다. 이때 적분은 표면 σ의 모든 적분요소 dσ에 대한 υ·n을 합한 양을 나타낸다. 이때 단위부피 τ에 대한 유체의 선속(線束)은 (1/τ)∫σ(υ·n)dσ이고, τ→ 0일 때 즉 σ가 P를 향해 줄어들어감에 따른 위 비의 극한은 υ(P)의 다이버전스라 불리는 스칼라이다.

이와 같이 υ(P)의 다이버전스는 P로부터의 유체흐름률을 뜻하며, div υ(P) 또는 ▽·υ(P) 로 쓴다.

점 P에서 ▽·υ(P)＞0이면 P는 유체가 흘러나오는 곳이고, ▽·υ(P)＜0이면 P는 유체가 흘러들어가는 곳이다.

▽·υ(P)=0이면 P에서 유체가 전혀 방출되지 않는다. 데카르트 좌표계에서는

이다.

벡터 장의 컬(curl)

υ(P)와 관련된 중요한 벡터 장인 υ(P)의 컬 또는 ▽×υ(P)는

로 정의되어 있다.

이 벡터는 장 안의 임의의 점 P에서 유체의 각 속도를 나타낸다.

데카르트 좌표계에서는

이다.

영역의 모든 점에서 ▽×υ=0일 때에는 비(非)회전장이라 하며, υ(P)가 ▽·υ=0을 만족시키면 관상장(管狀場 solenoid field)이라고 한다.

이 2개의 특수한 장에 대한 중요성은 영역 τ안에서 정의된 모든 연속미분가능한 벡터 함수 υ(P)가 관상 벡터 함수 f(P)와 비회전 벡터 함수 g(P)의 합으로 표현될 수 있다는 사실로부터 나온다.

이 2장으로의 분리 가능성은 물리학에서 속도장과 역장(力場)에 대한 연구를 매우 단순화시켰다.