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물리학의 경험법칙은 물리적 관계와 기하학적 도형을 표현하기 위해 선택된 특정한 또는 임의의 기준좌표계에 의존하지 않으므로, 벡터 해석은 물리적 우주의 연구에 이상적인 도구로 쓰인다.

특정 기준좌표계의 도입으로 벡터와 벡터 성분을 나타내는 수 집합이 서로 대응되었으며, 선분에 대한 연산법칙으로부터 이들 수집합에서의 명확한 연산규칙을 유도할 수 있다.

3차원 공간에서 한 평면 위에 있지 않은 3개의 벡터(기저 벡터)를 선택하면, 벡터A는 평행6면체의 대각선으로 유일하게 표현될 수 있다. 이때 평행6면체의 모서리는 방향이 기저 벡터와 같은 A의 성분이다. 데카르트 좌표계는 널리 사용되는 것으로 서로 수직인 세 단위 벡터(즉 길이가 1인 벡터) i, j, k를 기저 벡터로 한다(그림3). 이 좌표계에서 벡터는 A=xi＋yj＋zk로 표현되며, 이때 x,y,z는 좌표축 위로의 A의 사영이다.

두 벡터 A₁=x₁i＋x₂j＋x₃k와 A₂=y₁i＋y₂j＋y₃k의 합은 법칙 ③을 사용해

A₁＋A₂=(x₁＋y₁)i＋(x₂＋y₂)j＋(x₃＋y₃)k ⑦

가 된다.

따라서 데카르트 좌표계에서 A₁과 A₂의 합은 (x₁＋y₁, x₂＋y₂, x₃＋y₃)에 의해 결정되는 벡터이다. 또한 i·i=j·j=k·k=1, i·j=j·k=k·i=0이므로 내적은

A₁·A₂=x₁y₁＋x₂y₂＋x₃y₃ ⑧

로 된다.

법칙 ⑥을 적용하면

A₁×A₂=(x₂y₃－x₃y₂)i ＋(x₃y₁－x₁y₃)j＋(x₁y₂－x₂y₁)k ⑨

즉 외적은 ⑨에서 i,j,k의 계수들을 성분으로 하는 벡터이다.

성분이 (x₁,x₂,x₃)인 벡터가 1×3(또는 3×1) 행렬로 표시된다면, 공식 ⑦~⑨는 행렬로 다시 표현될 수 있다.

이와 같은 재표현으로 벡터의 개념이 3차원 이상의 공간까지 일반화되었다. 예를 들어 가스의 상태는 주로 압력 p, 부피 v, 온도 T, 시간 t에 의존한다. 이때 성분(p,n,T,t)는 3차원 기준틀에서 한 점으로 표현될 수 없다.

그러나 기하학적으로 볼 수 있느냐의 여부는 대수계산에서 아무런 영향을 미치지 않으므로, 행렬

의 각 행들을 성분으로 하는 기저 벡터 a₁,a₂,a₃,a₄의 집합으로 결정된 4차원 기준좌표계를 도입해 상징적인 기하학 용어를 사용할 수 있다.

4차원 공간에서 한 벡터 x는 x=x₁a₁＋x₂a₂＋x₃a₃＋x₄a₄로 표현되며, 모든 벡터는 4개의 성분(x₁,x₂,x₃,x₄)에 의해 결정된다.