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3차원 공간에서 움직이는 질점의 시각 t인 순간의 위치는 고정된 기준점 O로부터 그려진 위치 벡터 r로 표현될 수 있다.

r의 종점은 시간 t에 따라 위치가 변하므로, r는 t의 벡터 함수이다. O를 기준점으로 잡은 데카르트 축 방향으로의 각 성분은 i, j, k의 계수이고 r=xi＋yj＋zk로 표현된다.

이 성분들이 모두 미분가능한 함수이면 시간 t에 대한 r의 도함수는 로 정의되고, 이것은 질점의 속도 v를 나타낸다. v의 데카르트 성분은 ⑩에서 i, j, k의 계수이다. 이 성분들이 또다시 미분 가능하면, ⑩을 미분해 가속도 a=dv/dt를 얻으며 로 표현된다.

스칼라 함수들의 곱에 대한 미분법칙은 벡터 함수의 내적과 외적에 대한 도함수에서도 유효하며, 벡터 함수에 대한 적분이 적절히 정의됨으로써 물리과학과 공학에서 기본 분석도구가 된 벡터 미적분학이 형성되었다.