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전형적인 벡터는 시점 A에서 종점 B로의 질점(質點)의 변위를 나타내는 유향선분 AB(그림1)이다.

벡터는 스칼라와 구별하기 위해 관례상 굵은 글씨체로 표시한다. 그림1에서 벡터 AB는 a, 그 길이(또는 크기)는 |a|로 표시한다. 대부분의 경우 벡터의 시점은 중요하지 않으므로 만일 길이와 방향이 같으면 두 벡터는 서로 같다고 한다.

두 벡터 a와 b의 상등은, 보통 기호를 사용해 a=b로 나타낸다.

벡터의 기본적인 대수연산은 기하학적으로 설명할 수 있다. 그림1에서 AB=a가 A에서 B로의 질점 변위를 나타내고 계속해서 질점이 B에서 C로 움직여 BC=b가 되면, A에서 C로의 1개의 변위 AC=c로 된다.

따라서 a＋b=c라고 쓰는 것이 타당하다. a와 b의 합 c를 작도하면 평행4변형법칙과 같은 결과가 나온다. 평행4변형법칙에서 합 벡터 c는 벡터 AB와 AD를 두 변으로 하는 평행4변형의 대각선 AC로 나타난다. 벡터 BC=b에서 시점 B의 위치는 중요하지 않으므로 BC=AD다.

그림1에서 AD＋DC=AC이므로 벡터 덧셈에 대한 교환법칙

a＋b=b＋a ①

가 성립한다.

또한 결합법칙

(a＋b)＋c=a＋(b＋c) ②

가 성립함을 쉽게 알 수 있으므로 식 ②의 괄호는 생략해도 무방하다.

s가 스칼라일 때 sa나 as는 길이가 |s||a|이고 s〉0이면 a의 방향, s＜0이면 a와 반대 방향인 벡터로 정의된다.

따라서 a와 －a는 크기는 같으나 방향이 반대인 벡터이다. 앞서 말한 정의와 잘 알려진 스칼라 수(s와 t로 나타냄)의 성질에 따라

s(ta)=(st)a

(s＋t)a=sa＋ta ③

s(a＋b)=sa＋sb

가 성립함을 알 수 있다.

법칙 ①, ②, ③은 일반 대수법칙과 같으므로 벡터를 포함하는 연립선형방정식을 풀기 위해 일반대수학법칙을 사용할 수 있다. 이러한 사실은 복잡한 기하작도를 필요로 하는 유클리드 기하학의 여러 정리들을 단지 대수적 방법에 의해서 유도할 수 있게 한다.