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통계적 확률

어떤 조건에서 실험 또는 관측한 자료의 수를 N이라 하고, 그 중에서 어떤 사건 A가 일어난 횟수를 a라 할 때, 를 통계적 확률 또는 경험적 확률이라 한다.

확률 학습 방법 순서

경우의 수를 구하는 방법 이해하기

• 수형도 : 나무의 가지 모양으로 뻗어나가고 있는 그림으로 중복되거나 빠뜨리지 않고 계산할 수 있다.
예) 1, 2, 3의 숫자 세 개로 만들 수 있는 세 자리의 자연수는 몇 개인가?

• 합의 법칙 : 두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 A가 일어나는 경우의 수가 m가지, 사건 B가 일어나는 경우의 수가 n가지이면 사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우의 수는 (m＋n)가지이다.
예) 과일 3가지, 채소 2가지 중에 과일 또는 채소를 선택하는 경우의 수는? 과일 3가지와 채소 2가지이므로 과일 또는 채소를 선택하는 경우의 수는 3＋2=5가지이다.

• 곱의 법칙 : 두 사건 A, B에 대하여 사건 A가 일어나는 경우의 수가 m가지, 사건 B가 일어나는 경우의 수가 n가지이면 사건 A와 사건 B가 동시에 일어나는 경우의 수는 (m×n)가지이다.
예) 음식 3가지, 음료 2가지 중에 음식과 음료를 동시에 선택하는 경우의 수는? 음식 3가지, 음료 2가지이므로 음식과 음료를 동시에 선택하는 경우의 수는 3×2=6가지이다.

순열의 수와 조합의 수를 구하는 방법 이해하기

• 순열(順列, permutation) : 서로 다른 n개 중에서 r개를 택해 순서대로 나열하는 방법의 수를 n개에서 r개를 택하는 순열의 수라고 하며, 기호로 _nP_r로 나타낸다.
예) 네 개의 문자 a, b, c, d 중에 두 개의 문자를 택해 일렬로 놓는 경우의 수는 ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc의 12가지다. 이것은 4개 중 2개를 택한 순열이므로 ₄P₂=4×3=12가지다.

• 조합(組合, combination) : 서로 다른 n개 중에서 r개를 택하는 방법의 수를 n개에서 r개를 택하는 조합의 수라고 하며, 기호로 nCr로 나타낸다.
예) 다섯 개의 문자 a, b, c, d, e 중에 두 개의 문자를 택하는 경우의 수는 ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce, de의 10가지다. 이것은 5개 중 2개를 택하는 조합의 수 ₅C₂==10가지다.

• 중복순열 : 서로 다른 n개 중에서 중복을 허용하여 r개를 택하여 일렬로 나열하는 방법의 수를 n개에서 r개를 택하는 중복순열의 수라고 하며, 기호로 _nΠ_r로 나타낸다.
예) 세 숫자 1, 2, 3으로 다섯 자리 자연수를 만드는 경우의 수는? 다섯 자리 모두 1, 2, 3 세 숫자가 들어갈 수 있으므로 3×3×3×3×3=3⁵이다. 그러므로 세 숫자 1, 2, 3 중에서 중복을 허용하여 순서대로 다섯 번 선택하는 경우이므로 ₃Π₅이다.

• 원순열 : 서로 다른 n개의 원소를 원형으로 배열하는 순열
예) 부모 2명과 아이 6명을 원탁에 앉힐 때, 부모 사이에 아이 한 명을 앉히는 원순열의 수는? [부, 아이, 모]를 하나로 생각하여 남은 아이 5명과 함께 6명을 원형으로 세우는 경우의 수는 (6-1)!=5!가지, 부모가 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!가지, 부모 사이의 아이를 한 명 선택하는 경우의 수는 6가지다. 그러므로 5!×2!×6가지다.

• 중복조합 : 서로 다른 n개 중에서 중복을 허용하여 r개를 택하는 방법의 수를 n개에서 r개를 택하는 중복조합의 수라고 하며, 기호로 _nH_r로 나타낸다.
예) x＋y＋z=5를 만족시키는 x, y, z의 양의 정수근의 쌍의 개수는? 양수근이어야 하므로 x, y, z은 모두 1개 이상이다. x, y, z 중에 5개를 택하는 방법의 수이므로 세 문자를 우선 1개씩 먼저 뽑고, 3개만 더 뽑으면 된다. 그러므로 ₃H₃=_3+3-1C₃=₅C₃==10가지다.

확률의 뜻을 정확히 파악하기

• 확률의 덧셈 정리 : 두 개의 사건 A, B에 대하여 사건 A와 B가 동시에 일어나지 않을 때, A 또는 B가 일어날 확률은 P(A)＋P(B) 이다.
• 두 개의 사건 A, B에 대하여 사건 A와 B가 동시에 일어나지 않을 때, A와 B가 연이어 일어날 확률은 P(A)×P(B) 이다.
• 확률을 구하는 방법을 구체적인 예시를 활용하여 학습한다.

파스칼의 확률 연구

드 메레(Chevalier de Mere)라는 도박사 친구가 어느 날 파스칼(Blaise Pascal, 1623~1662)에게 편지를 보냈다. 편지의 내용은 “A, B 두 사람이 32피스톨씩 걸고 내기를 했는데 한 번 이기면 1점을 얻는 게임에서 3점을 먼저 얻는 사람이 64피스톨을 모두 갖기로 했다. A가 먼저 2점을 따고 B가 1점을 땄는데 그만 게임이 중단되었다. 그럼 64피스톨을 어떻게 분배하면 좋겠는가?” 하는 문제였다.

편지를 받은 파스칼은 페르마(Pierre de Fermat, 1601~1665)에게 알리고, 각자 다른 방법으로 해법을 찾으면서 확률에 대한 연구가 시작되었다. 하지만 확률의 역사는 도박과 관련해서 본다면 그 전에 시작된 것이다. 79년, 베수비오 산의 대분화로 폼페이가 잿더미 속에 파묻혔고, 그로부터 약 1,000년 후에 발굴된 폼페이에서 속임수 주사위가 발견되었다. 그 후 갈릴레오는 주사위 도박에 관한 글을 쓰기도 했다. ‘확률론’이라는 수학으로서의 확률이 파스칼과 페르마의 편지에서 시작되었다고 볼 수 있다.