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함수를 f라 할 때, 기호로 f : X→Y와 같이 나타낸다. 이때 집합 X를 함수 f의 정의역, 집합 Y를 함수 f의 공역이라고 한다. 또한 y가 x의 함수임을 y= f(x)와 같이 나타내고, f(x)를 x에서의 함숫값이라고 한다. 함수 f의 함숫값 전체의 집합을 함수 f의 치역이라고 한다. 함수의 치역은 항상 공역의 부분집합이다.

함수의 탄생과 역할

함수는 자판기에 있는 모든 버튼을 누른다고 가정하면 고장 나지 않은 음료자판기 시스템과 유사하다. 음료자판기 버튼을 누르면 그에 해당되는 음료 1개가 나온다. 콜라 버튼이 여러 개 있어도 그중 콜라 버튼 하나를 누르면 어김없이 1개가 나온다. 한꺼번에 2개가 나오거나 아예 나오지 않으면 고장 난 자판기다.

고장 난 자판기는 함수가 아니다. 그리고 자판기 안에 음료가 남아 있어도 고장 난 것은 아니다. 버튼은 집합 X의 원소 x이고, 나오는 음료는 집합 Y의 원소 y라고 생각하면 된다. 버튼을 누르는 것은 집합 X의 원소 x에 집합 Y의 원소 y를 대응시키는 것에 해당된다.

사다리 타기는 함수일까? 사다리 타기는 선을 어떻게 연결하더라도 결코 겹치지 않고 한 사람이 한 개를 선택하는 함수다. 이런 함수를 특별히 일대일대응 함수라고 한다. 함수를 나타내는 f는 독일의 수학자 라이프니츠(Gottfried Wilhelm von Leibniz, 1646~1716)가 처음 사용했고, 이후 오일러(Leonhard Euler, 1707~1783)가 대응하는 함수라는 뜻으로 f(x)를 쓰기 시작했다.

하지만 함수라는 용어를 처음 사용한 사람은 청나라 수학자 이선란(李善蘭)이다. 19세기 중반 오늘날의 함수의 정의와는 달리 ‘함수=수식’이라는 사고방식이 팽배해 있을 때, 이선란이 그대로 받아들여 ‘函數’라는 용어를 새로 만든 것이고, 함수는 “다른 변수를 포함하는 수식으로 표현되는 변수”의 준말이 어원이 되는 셈이다.

평면에 두 개의 좌표축을 세우고, 가로에 놓인 것을 x축, 세로에 놓인 것을 y축, 두 축이 만나는 점을 원점O이라 하고, 이를 좌표평면이라 한다. 함수 y= f(x)를 만족하는 모든 x, y를 순서쌍(x, y)로 하여 좌표평면 위에 나타낸 것을 함수의 그래프라고 한다. 좌표평면은 “나는 생각한다. 고로 나는 존재한다”는 유명한 명언을 남긴 프랑스의 수학자이며 철학자인 데카르트(Descartes)가 어릴 적 몸이 약해 주로 누워서 생활하다 천장에 붙어 있는 파리를 보고 파리의 위치를 수로 표현할 수 없을까 고민하다가 아이디어를 떠올렸다고 한다.

“귀뚜라미는 가난한 사람의 온도계”라는 미국 속담이 있는데, 실제로 귀뚜라미는 옛 아메리카 인디언들의 온도계 역할을 했다고 한다. 귀뚜라미는 어떻게 온도계 역할을 하며 기온을 알려줄 수 있었을까? 귀뚜라미의 우는 횟수와 기온은 일차함수와 관계가 있는 것으로 알려져 있다.

귀뚜라미는 외부 온도에 따라 활동성이 달라지는 외온 동물이다. 즉, 온도가 낮아질수록 대사활동 속도가 늦어지고 울음소리를 반복하는 속도도 늦어진다. 기온이 높은 여름에는 빠르고 시끄럽게 울고, 가을에는 기온이 낮아지면서 울음소리의 속도가 늦어진다.

15세기까지 사람들은 비스듬히 발사된 물체는 발사된 방향으로 날아가다가 일정 시간 후에 수직으로 낙하한다고 생각했다. 이탈리아 수학자 니콜로 타르탈리아(Niccolo F. Tartaglia, 1499~1557)는 포탄이 발사된 방향으로 날아가다가 수직으로 툭 떨어지는 것이 아니라 곡선을 그리며 움직인다는 것과 발사각의 크기가 45°일 때 가장 멀리 날아간다는 것을 알아냈다. 그러나 타르탈리아는 발사된 물체가 왜 그와 같은 곡선을 그리며 날아가는지는 알지 못했다.

발사된 물체가 그리는 곡선이 포물선임을 밝힌 사람은 갈릴레이(1564~1642)이다. 훗날 뉴턴(1642~1727)은 중력의 개념을 바탕으로 비스듬히 던져진 물체의 높이와 시간의 관계를 나타내는 2차 함수의 식〔y=ax²＋bx＋c (a≠0)〕을 구했다.